Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles A PT — Partie C (Q19 à Q28) : Muscles de McKibben antagonistes : modèle dynamique et identification

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Les muscles de McKibben (FESTO DMSP-5-100N, contraction maximale $20%$ , $0$ à $6 bar$ ) se raccourcissent quand on les gonfle. Pour une contraction $δ λ = λ_{0} - λ$ faible devant la longueur au repos $λ_{0}$ , la force de contraction se linéarise :

$F_{c} = P (F_{c 0} - K δ λ) (C.2)$

( $P$ pression dans le muscle en Pa, $F_{c}$ en N, $F_{c 0}$ force isométrique maximale unitaire, $K$ raideur apparente).

Q19. Donner les unités de $F_{c 0}$ et $K$ .
Q20. Tracer l'allure de $F_{c} (δ λ)$ à pression constante en faisant apparaître $P$ , $K$ , $F_{c 0}$ .
Q21. Compléter le programme du cahier réponses (P_exp = ..., def F_c(x, P):, tracé) pour superposer la caractéristique théorique à l'expérience sous $2 bar$ .

Avec frottement visqueux, $F_{t o t} = P (F_{c 0} - K δ λ) - μ \frac{d δ λ}{d t}$ (C.3). Deux muscles antagonistes s'enroulent sur une poulie (rayon $R$ , inertie $J$ , axe $(O, y_{0})$ ). Initialement, tous deux sont sous $P_{0}$ , contractés de $δ λ_{0} > 0$ ; on envoie ensuite $P_{0} - δ P$ dans le muscle 1 et $P_{0} + δ P$ dans le muscle 2 : la poulie tourne de $θ = (z_{0}, z_{2})$ et le couple des muscles sur l'articulation est $C_{m p}$ .

Figure 15 — Muscles antagonistes. Après l'échelon, l'attache $M_{1}$ (haut) avance de $R θ$ vers $x_{0}$ , $M_{2}$ (bas) recule de $R θ$ .

Q22. Muscles initialement contractés à mi-course ( $10%$ ) : rayon de poulie permettant $θ_{m a x} \geq 4 5^{\circ} \approx 0, 75 rad$ en fonction de $λ_{0}$ ; application pour $λ_{0} = 30 cm$ ; pourquoi ce rayon diffère-t-il de $R_{v}$ ?
Q23. Exprimer $C_{m p}$ en fonction de $F_{t o t_{1}}$ et $F_{t o t_{2}}$ .
Q24. Écrire l'équation du mouvement de la poulie (pesanteur négligée, avant-bras galiléen).
Q25. Établir l'équation (C.4) proposée : $J θ ¨ = - 2 R (μ θ ˙ + P_{0} K R θ + (K δ λ_{0} - F_{c 0}) δ P)$ .
Q26. En déduire $H (p) = Θ (p) /Δ P (p)$ .
Q27. L'écrire sous la forme $\frac{K _{m}}{1 + \frac{2 ξ _{m}}{ω _{m}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{m}^{2}}}$ et exprimer $K_{m}$ , $ξ_{m}$ , $ω_{m}$ .

Réponse à un échelon $δ P_{0} = 6 bar$ (cahier réponses) :

Cahier réponses (Q28) — Réponse à l'échelon de $6 bar$ .

Abaques de l'annexe E (second ordre) :

Q28. Déterminer, avec deux chiffres significatifs, $K_{m}$ , $ξ_{m}$ et $ω_{m}$ du modèle du second ordre.

Corrigé

Q19. $F_{c}$ en $N$ et $P$ en $Pa = N \cdot m^{- 2}$ : $F_{c 0} = F_{c} / P$ s'exprime en $N/Pa$ , soit $F_{c 0} en m^{2}$ (c'est une section effective) ; $K δ λ$ ayant l'unité de $F_{c 0}$ , $K en m^{2} /m = m$ (ou $N \cdot P a^{- 1} \cdot m^{- 1}$ ).

Q20. À $P$ constant, $F_{c} (δ λ)$ est une droite décroissante :

Ordonnée à l'origine $P F_{c 0}$ (force isométrique, muscle à sa longueur de repos), pente $- P K$ , annulation pour $δ λ = F_{c 0} / K$ (contraction maximale à vide, indépendante de $P$ dans ce modèle). Une pression plus forte donne une droite plus haute et plus raide, de même abscisse à l'origine ; le réseau réel de la figure 36 montre au contraire une contraction à vide qui croît avec la pression : le modèle linéarisé n'est qu'une approximation locale.

Q21. Programme complété (les lignes 1 à 14 sont celles du sujet) :


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.genfromtxt('donnees.txt', dtype=float, delimiter=' ')

plt.plot(data[0, :], data[1, :], label='Expérimentale')
plt.xlabel('Contraction du muscle (m)')
plt.ylabel('Force (N)')

plt.show()

Fc0, K = 1, 1  ## Valeurs arbitraires
## Pression (Pa) lors de l'expérience
P_exp = 2e5     # 2 bar = 2.10^5 Pa

def F_c(x, P):
    """Force (C.2) : contraction x (m), pression P (Pa)."""
    return P * (Fc0 - K * x)

contraction = data[0, :]   # abscisses des mesures
plt.plot(contraction, F_c(contraction, P_exp), label='Théorique')
plt.legend()
plt.show()

La fonction reçoit un tableau numpy (opérations terme à terme) et renvoie les forces théoriques aux mêmes contractions que les mesures. Le code a été exécuté sur un fichier de test. Deux remarques : le plt.show() de la ligne 12 ferme la première figure, si bien que la courbe théorique s'affiche dans une seconde fenêtre ; pour superposer les deux courbes, il faut supprimer cet appel. Et le texte annonce un fichier à deux colonnes (force, puis contraction) : genfromtxt renvoie alors un tableau de forme $(N, 2)$ , dont data[0, :] est la première ligne (deux valeurs), et non la contraction. Le programme donné, avec data[0, :] et data[1, :], suppose donc un fichier à deux lignes ; avec le fichier décrit, on écrirait data[:, 1] pour la contraction et data[:, 0] pour la force. On suit ici la convention du programme du cahier.

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