Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles A PT — Partie D.2.3 (Q36 à Q44) : Performances de l'asservissement d'effort : P, PI et PIDf

Notations.

On pose $D(p)=1+\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m}p+\frac{p^2}{{\omega }_m^2}$ et $K_{BO}=K_{mano}{K}_m{K}_{ma}$. D'après la figure 21 :

$$\Delta C_{gm}=K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p)\left[\frac{K_m{K}_{mano}C(p)}{D(p)}\epsilon -\frac{C_{dec}}{2P_{0}K{R}^2}-{\Theta }_{op}\right]$$

avec $\epsilon =\Delta C_{gm}^{\ast }-\Delta C_{gm}$.

Q36. Avec $C=K_p$, la fonction de transfert en boucle ouverte est $FTBO(p)=\frac{K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)}{D(p)}$. Le dénominateur de la boucle fermée est

$$D(p)+K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)=\left(1+K_p{K}_{BO}\right)+\left(\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m}+K_p{K}_{BO}{\tau }_{ma}\right)p+\frac{p^2}{{\omega }_m^2}.$$

Pour un polynôme du second degré, la stabilité (pôles à partie réelle strictement négative) équivaut à des coefficients tous de même signe (critère de Routh), soit $1+K_p{K}_{BO}>0$ et $\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m}+K_p{K}_{BO}{\tau }_{ma}>0$ :

$$\boxed{K_p>-\frac{1}{K_{BO}}\min \left(1;\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m{\tau }_{ma}}\right)}$$

En particulier tout gain $K_p>0$ assure la stabilité (avec les valeurs de (D.5), $\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m{\tau }_{ma}}\approx 5,5>1$, et la condition est $K_p>-1/K_{BO}$).

Q37. En regroupant les termes en $\Delta C_{gm}$ :

$$\begin{array}{rl}\Delta C_{gm}\left[1+\frac{K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)}{D(p)}\right]=& \frac{K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)}{D(p)}\Delta C_{gm}^{\ast }\\ & -K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p)\left[\frac{C_{dec}}{2P_{0}K{R}^2}+{\Theta }_{op}\right].\end{array}$$

Par identification avec (D.4) :

$$\boxed{K_{dec}=\frac{1}{2P_{0}K{R}^2}},\boxed{H_p(p)=\frac{K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p)\left(1+\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m}p+\frac{p^2}{{\omega }_m^2}\right)}{1+K_p{K}_{BO}+\left(\frac{2{\xi }_m}{{\omega }_m}+K_p{K}_{BO}{\tau }_{ma}\right)p+\frac{p^2}{{\omega }_m^2}}}$$

(et $H_c=\frac{K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)}{D(p)+K_p{K}_{BO}(1+{\tau }_{ma}p)}$).

Q38. Avec $\Delta C_{gm}^{\ast }=0$ et ${\Theta }_{op}=0$, l'écart vaut $\epsilon =-\Delta C_{gm}=H_p(p)K_{dec}\frac{C_{dec0}}{p}$. Le système étant stable (Q36), le théorème de la valeur finale s'applique :

$$E_{rs}=\underset{p\to 0}{\lim }p\epsilon (p)=H_p(0)K_{dec}{C}_{dec0},$$

$$\boxed{E_{rs}=\frac{K_{ma}{C}_{dec0}}{2P_{0}K{R}^2\left(1+K_p{K}_{mano}{K}_m{K}_{ma}\right)}\ne 0}$$

Aucun intégrateur en amont de la perturbation : l'erreur est finie, d'autant plus faible que $K_p$ est grand, mais non nulle. L'exigence Id 1.4.2.1 n'est pas respectée par la correction proportionnelle.

Q39. Avec le PI, $C(p)=K_i\frac{1+T_{i}p}{T_{i}p}$ et

$$\epsilon (p)=\frac{K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p)K_{dec}{C}_{dec0}}{p}\cdot \frac{T_{i}pD(p)}{N(p)},$$

où $N(p)=T_{i}pD(p)+K_i{K}_{BO}(1+T_{i}p)(1+{\tau }_{ma}p)$ vérifie $N(0)=K_i{K}_{BO}\ne 0$. Si le système est stable, $E_{rs}={\lim }_{p\to 0}p\epsilon (p)=0$ grâce au facteur $p$ du numérateur : l'intégrateur du correcteur est placé en amont du point d'entrée de la perturbation $C_{dec}$, et celle-ci est un échelon (une intégration suffit). La consigne étant nulle, l'erreur permanente est nulle : Id 1.4.2.1 est respectée. Ce que le correcteur attend : ne pas se contenter de « il y a un intégrateur », mais préciser sa position par rapport à la perturbation et la nature de celle-ci, comme le souligne le jury.

Q40. On garde le PI. D'après la figure 21, le mouvement de la main agit par $-K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p){\Theta }_{op}$ en sortie ; l'écart vaut

$$\epsilon =-\Delta C_{gm}=\frac{K_{ma}(1+{\tau }_{ma}p)}{1+FTBO(p)}{\Theta }_{op}(p),$$