Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles A PT — Partie E (Q45 à Q48) : Groupe pneumatique : compression isentropique et diagramme d'états

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Un moteur électrique entraîne un compresseur à piston (bielle-manivelle) qui remplit un accumulateur (figure 26 du sujet : filtre d'entrée, compresseur, refroidisseur, filtre micronique, sécheur, clapet anti-retour, accumulateur avec manomètre et soupape de sécurité). Le piston aspire l'air à $p_{1}$ jusqu'au volume $V_{1}$ , puis le comprime jusqu'à $V_{2}$ ; taux de compression volumique $τ = V_{1} / V_{2}$ . L'air est un gaz parfait ; la compression est adiabatique et réversible, donc isentropique : $p V^{γ} = cte$ , $γ \approx 1, 4$ .

Figure 28 — Puissances de $x$ : $x$ , $x^{γ}$ et $x^{γ - 1}$ ( $γ = 1, 4$ ).

Q45. Exprimer la pression maximale $p_{2}$ en fonction de $p_{1}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ ; application pour $p_{1} = 1 bar$ , $V_{1} = 26, 25 c m^{3}$ , $V_{2} = 7 c m^{3}$ (préciser $τ$ ).
Q46. Montrer que $T_{2} = T_{1} τ^{γ - 1}$ ; calculer $T_{2}$ pour $T_{1} = 293, 15 K$ . Le refroidisseur est-il nécessaire ?

Cycle après cycle, la pression de l'accumulateur tend vers $p_{2}$ . Essai de remplissage depuis $1 bar$ :

Figure 29 — Remplissage du compresseur (points de mesure et modèle affine par morceaux en tirets).

Modèle : si $1 \leq p < 4 bar$ , $δ p = K_{p 1} δ t$ ; si $p \geq 4 bar$ , $δ p = K_{p 2} δ t$ (E.1).

Q47. Déterminer $K_{p 1}$ et $K_{p 2}$ .

Pendant l'assistance, la consommation des muscles fait chuter la pression : $δ p = - K_{p 3} δ t$ avec $K_{p 3} = 0, 025 bar \cdot s^{- 1}$ (pour $p \geq 4 bar$ ). Diagramme d'états du groupe :

Figure 30 — Diagramme d'états (stm) du groupe pneumatique.

Q48. Le chronogramme du cahier réponses (de $0$ à $390 s$ ) donne les événements Marche ( $t = 10 s$ ), AU ( $240 s$ ), Acquittement ( $270 s$ ), Arrêt ( $370 s$ ) et l'ouverture des manodétendeurs sur $[90; 130]$ , $[150; 230]$ et $[300; 340] s$ . Compléter les états VEILLE, ARRÊT URGENCE, MARCHE, MISE EN PRESSION, ATTENTE et tracer $p (t)$ dans l'accumulateur, initialement à $1 bar$ .

Corrigé

Q45. Compression isentropique du gaz enfermé dans le cylindre (système fermé, clapets fermés) : $p_{1} V_{1}^{γ} = p_{2} V_{2}^{γ}$ , d'où

$p_{2} = p_{1} (\frac{V _{1}}{V _{2}})^{γ} = p_{1} τ^{γ}$

$τ = \frac{26 , 25}{7} = 3, 75$ et, sur la figure 28 (courbe $x^{γ}$ en $x = 3, 75$ ), $τ^{γ} \approx 6, 4$ : $p_{2} \approx 6, 4 bar$ (le calcul donne $3, 7 5^{1, 4} = 6, 36$ ). C'est la pression limite de l'accumulateur : elle couvre la plage d'utilisation de $4$ à $6 bar$ (Id 2.1.1).

Q46. Gaz parfait : $p V = n R T$ avec $n$ constant pendant la compression, donc $p = n R T / V$ et $p V^{γ} = n R T V^{γ - 1}$ . L'invariance de $p V^{γ}$ donne celle de $T V^{γ - 1}$ (loi de Laplace) :

$T_{1} V_{1}^{γ - 1} = T_{2} V_{2}^{γ - 1} ⟹ T_{2} = T_{1} (\frac{V _{1}}{V _{2}})^{γ - 1} = T_{1} τ^{γ - 1}$

Figure 28 : $3, 7 5^{0, 4} \approx 1, 7$ (le calcul donne $1, 697$ ), d'où

$T_{2} \approx 293 \times 1, 7 \approx 4, 97 \times 1 0^{2} K \approx 22 4^{\circ} C$

L'air sort du compresseur à plus de $20 0^{\circ} C$ . Or les muscles pneumatiques et les composants aval ne supportent qu'une température ambiante de $- 5$ à $+ 6 0^{\circ} C$ (catalogue FESTO), l'air chaud contient de la vapeur d'eau qui condenserait en refroidissant dans les conduites, et un air chaud stocké perdrait de la pression en refroidissant. Le refroidisseur est donc nécessaire. (En réalité les échanges thermiques avec la paroi limitent un peu cette valeur, qui reste un majorant plausible.)

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