Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Deuxième partie (Q11 à Q15) : Suites couplées X(n+1) = AX(n) + B : point fixe F, récurrence X(n) − F = Aⁿ(X(0) − F) et termes généraux de trois suites arithmétiques

Sujet officiel du concours BSB, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On garde la matrice $A$ de la première partie, avec $A^{n} = n A - (n - 1) I$ pour tout $n \in N$ (Q5). On pose $B = - 1 14$ et $X_{n} = u_{n} v_{n} w_{n}$ , où les trois suites sont définies par $X_{0} = 123$ et $X_{n + 1} = A X_{n} + B$ pour tout $n \in N$ .

Q11. Calculer $u_{1}$ , $v_{1}$ , $w_{1}$ .
Q12. Trouver le réel $ω$ tel que $F = ω - 1 3$ vérifie $F = A F + B$ .
Q13. Montrer que $X_{n + 1} - F = A (X_{n} - F)$ pour tout $n \in N$ .
Q14. En déduire que $X_{n} - F = A^{n} (X_{0} - F)$ pour tout $n \in N$ .
Q15. Conclure en exprimant $u_{n}$ , $v_{n}$ et $w_{n}$ en fonction de $n$ .

Corrigé

Q11. Par définition, $X_{1} = A X_{0} + B$ . On calcule d'abord

$A X_{0} = 014 - 1 24 001 123 = 0 - 2 + 0 1 + 4 + 0 4 + 8 + 3 = - 2 515,$

puis

$X_{1} = - 2 515 + - 1 14 = - 3 619, soit u_{1} = - 3, v_{1} = 6, w_{1} = 19.$

Q12. Pour $F = ω - 1 3$ ,

$A F = 0 \times ω + (- 1) \times (- 1) + 0 \times 3 1 \times ω + 2 \times (- 1) + 0 \times 3 4 ω + 4 \times (- 1) + 1 \times 3 = 1 ω - 2 4 ω - 1, A F + B = 0 ω - 1 4 ω + 3 .$

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