Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Première partie (Q1 à Q10) : Matrice d'ordre 3 telle que (A − I)² = 0 : inverse par polynôme annulateur, puissances par récurrence, valeur propre unique et non-diagonalisabilité

Q1. On retranche $1$ à chaque coefficient diagonal :

$$A-I=\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 0\\ 1& 1& 0\\ 4& 4& 0\end{array}\right).$$

Notons $N=A-I$. Ses deux premières colonnes sont égales à $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ et sa troisième est nulle. Le produit $N\times N$ se calcule ligne par colonne :

• ligne $1$, $(-1,-1,0)$, contre la colonne $(-1,1,4)$ : $(-1)(-1)+(-1)\times 1+0\times 4=1-1=0$ ;
• ligne $2$, $(1,1,0)$, contre la même colonne : $-1+1+0=0$ ;
• ligne $3$, $(4,4,0)$, contre la même colonne : $-4+4+0=0$ ;
• tout produit par la troisième colonne, nulle, vaut $0$.

Les deux premières colonnes de $N$ étant identiques, les deux premières colonnes du produit le sont aussi. Ainsi

$$\boxed{(A-I{)}^2=0}\text{(matrice nulle d’ordre }3).$$

Q2. Les matrices $A$ et $I$ commutent ($AI=IA=A$), donc l'identité remarquable s'applique :

$$(A-I{)}^2=A^2-2A+I.$$

D'après Q1, $A^2-2A+I=0$, soit $2A-A^2=I$, c'est-à-dire

$$A(2I-A)=I\text{et, de meˆme,}(2I-A)A=2A-A^2=I.$$

La matrice $A$ est donc inversible, d'inverse $2I-A$ : c'est le théorème « inverser sans pivot » appliqué au polynôme annulateur $X^2-2X+1$, dont le terme constant $1$ est non nul. Ainsi

$$\boxed{A^{-1}=-A+2I,\alpha =-1,\beta =2.}$$

Ce que le correcteur attend : l'argument de commutation avant de développer $(A-I{)}^2$ (pour deux matrices quelconques, $(M-N{)}^2\ne M^2-2MN+N^2$), et l'égalité $A\times (2I-A)=I$ écrite, qui est la définition même de l'inversibilité.

Q3. D'après Q2,

$$A^{-1}=2I-A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 2& 0\\ 4& 4& 1\end{array}\right)=\boxed{\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 0& 0\\ -4& -4& 1\end{array}\right)}.$$