Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 2 — Deuxième et troisième parties (Q7 à Q15) : Famille de polynômes Pm : factorisation par une racine, intégrale, aire entre deux courbes, trois points communs et limite d'une racine

Sujet officiel du concours BSB, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend $P_{m} (x) = 2 m x^{3} + (2 - m) x^{2} + (1 - 2 m) x + (m - 1)$ ; $C_{m}$ désigne la courbe de $P_{m}$ dans un repère orthonormé.

Deuxième partie. On note $g = P_{2}$ , soit $g (x) = 4 x^{3} - 3 x + 1$ .
Q7. Vérifier que $- 1$ est racine de $g$ .
Q8. Trouver un polynôme $φ$ de degré $2$ tel que $g (x) = (x + 1) φ (x)$ pour tout réel $x$ .
Q9. En déduire toutes les racines de $g$ .

Troisième partie.
Q10. Calculer $\int_{- 1}^{1/2} g (x) d x$ .
Q11. Montrer que $A = (- 1, 0)$ et $B = (\frac{1}{2}, 0)$ appartiennent à toutes les courbes $C_{m}$ .
Q12. Dresser le tableau de signes de $h = P_{1} - P_{0}$ .
Q13. Calculer l'aire du domaine limité par $C_{0}$ , $C_{1}$ et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = \frac{1}{2}$ .
Q14. Montrer que les $C_{m}$ ont un troisième point commun $C$ , et donner ses coordonnées.
Q15. Pour $m > 0$ , $α_{m}$ désigne la racine de $P_{m}$ différente de $- 1$ et de $\frac{1}{2}$ . Montrer que $α_{m} \to 1$ quand $m \to + \infty$ (on pourra factoriser $P_{m} (x)$ par $(x + 1) (2 x - 1)$ ).

Corrigé

Q7. $g (- 1) = 4 \times (- 1)^{3} - 3 \times (- 1) + 1 = - 4 + 3 + 1 = 0$ . Donc $- 1 est racine de g .$

Q8. Comme $- 1$ est racine de $g$ (Q7), on cherche à écrire $g (x) = (x + 1) φ (x)$ avec $φ$ de degré $2$ (le produit doit être de degré $3$ , comme $g$ ). Posons $φ (x) = a x^{2} + b x + c$ et procédons par identification des coefficients ; le développement ci-dessous, une fois $a$ , $b$ , $c$ trouvés, prouve l'égalité. En développant,

$(x + 1) (a x^{2} + b x + c) = a x^{3} + (a + b) x^{2} + (b + c) x + c .$

Par identification des coefficients avec $g (x) = 4 x^{3} + 0 x^{2} - 3 x + 1$ :

$a = 4, a + b = 0, b + c = - 3, c = 1,$

d'où $a = 4$ , $b = - 4$ , $c = 1$ , et la troisième équation est bien vérifiée ( $- 4 + 1 = - 3$ ). Ainsi

$φ (x) = 4 x^{2} - 4 x + 1, g (x) = (x + 1) (4 x^{2} - 4 x + 1) .$

Q9. On reconnaît l'identité remarquable $4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x - 1)^{2}$ (son discriminant est $16 - 16 = 0$ ). Donc

$g (x) = (x + 1) (2 x - 1)^{2},$

et un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $g (x) = 0 ⟺ x = - 1$ ou $x = \frac{1}{2}$ . Les racines de $g$ sont $- 1 et \frac{1}{2}$ , la seconde étant double.

Q10. Une primitive de $g (x) = 4 x^{3} - 3 x + 1$ sur $R$ est $G_{0} (x) = x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + x$ . Donc

$\int_{- 1}^{1/2} g (x) d x = G_{0} (\frac{1}{2}) - G_{0} (- 1) = (\frac{1}{16} - \frac{3}{8} + \frac{1}{2}) - (1 - \frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{16} + \frac{3}{2} = \frac{27}{16} .$

Contrôle de signe. Sur $[- 1, \frac{1}{2}]$ , $x + 1 ⩾ 0$ et $(2 x - 1)^{2} ⩾ 0$ , donc $g ⩾ 0$ et l'intégrale est positive, comme trouvé.

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