Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 2 — Première partie (Q1 à Q6) : Étude d'un polynôme de degré 3 : limites, variations, racine unique sur un segment et trace d'une dichotomie en Python

Sujet officiel du concours BSB, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour tout réel $m$ , on pose $P_{m} (x) = 2 m x^{3} + (2 - m) x^{2} + (1 - 2 m) x + (m - 1)$ pour $x \in R$ . Dans cette partie $m = - \frac{1}{2}$ , ce qui donne $f (x) = - x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 2 x - \frac{3}{2}$ . Le sujet fournit deux fonctions Python : f(x), et Racine(a,b,f), qui tant que $b - a > 0, 001$ calcule et affiche le milieu $m$ de $[a, b]$ , renvoie $m$ si $f (m)$ est nul, remplace $a$ par $m$ si $f (a) f (m) > 0$ et $b$ par $m$ sinon, puis renvoie le dernier $m$ calculé.

Q1. Calculer $f (2)$ sous forme de fraction irréductible.
Q2. Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
Q3. Dresser le tableau de variations de $f$ avec ses limites (le sujet donne une valeur de $f (- \frac{1}{3})$ , rectifiée par le jury).
Q4. Calculer $f (0)$ ; en déduire que $f$ a une seule racine dans $[0, 2]$ .
Q5. Expliquer le rôle de la fonction f.
Q6. Donner, calculs faits à la main, toutes les valeurs affichées par l'appel Racine(0,2,f) et la valeur renvoyée.

Corrigé

Q1. On remplace $x$ par $2$ :

$f (2) = - 2^{3} + \frac{5}{2} \times 2^{2} + 2 \times 2 - \frac{3}{2} = - 8 + 10 + 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} .$

La fraction $\frac{9}{2}$ est irréductible, car $9$ et $2$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ .

Q2. $f$ est une fonction polynomiale de degré $3$ , de terme de plus haut degré $- x^{3}$ . Pour $x \neq = 0$ , on factorise par ce terme :

$f (x) = - x^{3} (1 - \frac{5}{2 x} - \frac{2}{x ^{2}} + \frac{3}{2 x ^{3}}) .$

Quand $x \to \pm \infty$ , chacun des trois quotients tend vers $0$ , donc la parenthèse tend vers $1$ ; par produit des limites (c'est la règle « le terme de plus haut degré décide ») :

$x \to - \infty lim (- x^{3}) = + \infty ⟹ x \to - \infty lim f (x) = + \infty, x \to + \infty lim (- x^{3}) = - \infty ⟹ x \to + \infty lim f (x) = - \infty .$

Q3. Dérivée. $f$ est polynomiale, donc dérivable sur $R$ , et

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 5 x + 2.$

Signe de $f^{'}$ . C'est un trinôme de discriminant $Δ = 5^{2} - 4 \times (- 3) \times 2 = 25 + 24 = 49 = 7^{2} > 0$ . Ses racines sont

$x_{1} = \frac{- 5 - 7}{2 \times ( - 3 )} = 2, x_{2} = \frac{- 5 + 7}{2 \times ( - 3 )} = - \frac{1}{3},$

d'où la factorisation $f^{'} (x) = - 3 (x + \frac{1}{3}) (x - 2) = - (3 x + 1) (x - 2)$ . Le coefficient dominant $- 3$ étant négatif, $f^{'}$ est négative à l'extérieur des racines et positive entre elles : $f^{'} (x) < 0$ sur $] - \infty, - \frac{1}{3} [$ et sur $] 2, + \infty [$ , $f^{'} (x) > 0$ sur $] - \frac{1}{3}, 2 [$ .

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