Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 3 (Q1 à Q13) : Trois jetons bicolores : loi binomiale, loi du nombre de couleurs, loi conjointe, covariance et loi d'un produit

Sujet officiel du concours BSB, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Trois jetons ont chacun une face bleue numérotée $1$ ; l'autre face est rouge et numérotée $2$ (jeton $A$ ), jaune et numérotée $3$ (jeton $B$ ), verte et numérotée $4$ (jeton $C$ ). On lance les trois jetons : chaque face a la probabilité $\frac{1}{2}$ d'apparaître et les trois jetons sont indépendants. On note $X$ le nombre de faces bleues visibles, $Y$ le nombre de couleurs différentes visibles et $Z$ le produit des trois nombres visibles.

Q1. Reconnaître la loi de $X$ ; donner $E (X)$ et $V (X)$ .
Q2. Déterminer, en justifiant, les valeurs possibles de $Y$ .
Q3. Expliquer pourquoi $(X = 3) = (Y = 1)$ ; en déduire $P (Y = 1)$ .
Q4. Calculer de même $P (Y = 2)$ .
Q5. En déduire la loi de $Y$ .
Q6. Montrer que $E (Y) = \frac{19}{8}$ .
Q7. Calculer $V (Y)$ .
Q8. Lister les issues qui réalisent $(X = 1) \cap (Y = 3)$ ; en déduire sa probabilité.
Q9. Dans la loi conjointe de $(X, Y)$ , seules quatre probabilités $A = P (X = 0, Y = 3)$ , $B = P (X = 1, Y = 3)$ , $C = P (X = 2, Y = 2)$ et $D = P (X = 3, Y = 1)$ ne sont pas données nulles : les calculer.
Q10. En déduire que $Cov (X, Y) = - \frac{9}{16}$ .
Q11. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
Q12. Lister les $8$ valeurs possibles de $Z$ et donner sa loi.
Q13. Calculer $E (Z)$ .

Corrigé

Modélisation. Une issue est le triplet des faces visibles des jetons $A$ , $B$ , $C$ , dans cet ordre. On note b la face bleue et r, j, v les faces rouge, jaune, verte : par exemple $(b, j, v)$ signifie « $A$ bleu, $B$ jaune, $C$ vert ». Il y a $2^{3} = 8$ issues ; par indépendance des trois jetons et équiprobabilité des faces, chacune a la probabilité $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ .

Q1. Pour chaque jeton, l'événement « la face bleue apparaît » a la probabilité $\frac{1}{2}$ , et les trois jetons sont indépendants : on répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli de succès « face bleue », de probabilité $p = \frac{1}{2}$ . La variable $X$ compte les succès : elle suit la loi binomiale $B (3, \frac{1}{2})$ , c'est-à-dire

$P (X = k) = (k 3) (\frac{1}{2})^{k} (\frac{1}{2})^{3 - k} = \frac{( k 3 )}{8} (k \in {0, 1, 2, 3}),$

soit $P (X = 0) = \frac{1}{8}$ , $P (X = 1) = \frac{3}{8}$ , $P (X = 2) = \frac{3}{8}$ , $P (X = 3) = \frac{1}{8}$ . Par le cours sur la loi binomiale,

$E (X) = n p = \frac{3}{2}, V (X) = n p (1 - p) = 3 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4} .$

Ce que le correcteur attend : les trois ingrédients d'un schéma de Bernoulli — épreuves identiques, indépendantes, succès de probabilité $\frac{1}{2}$ — et la loi nommée avec ses paramètres.

Q2. Les couleurs non bleues (rouge, jaune, verte) appartiennent chacune à un seul jeton : elles sont deux à deux distinctes et distinctes du bleu. Si $X = k$ , on voit donc $3 - k$ couleurs non bleues toutes différentes, plus le bleu si $k ⩾ 1$ . Par conséquent

$Y = {3 1 + (3 - X) = 4 - X si X = 0 (rouge, jaune, vert), si X ⩾ 1,$

soit $Y = 3$ si $X \in {0, 1}$ , $Y = 2$ si $X = 2$ et $Y = 1$ si $X = 3$ . Comme $X$ prend chacune des valeurs $0, 1, 2, 3$ avec une probabilité non nulle,

$Y (Ω) = {1, 2, 3} .$

(On ne peut pas voir $4$ couleurs avec $3$ jetons, et $0$ couleur est impossible.)

Q3. L'événement $(Y = 1)$ signifie que les trois faces visibles ont la même couleur. Les couleurs rouge, jaune et verte n'apparaissent chacune que sur un seul jeton ; la seule couleur commune aux trois jetons est le bleu. Donc $(Y = 1)$ est réalisé si et seulement si les trois faces sont bleues, c'est-à-dire si et seulement si $(X = 3)$ l'est : $(Y = 1) = (X = 3)$ . D'après Q1,

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →