Corrigé BSB 2025 Maths ECT — Exercice 4 (Q1 à Q9) : Étude de (x + 1)e^(−x), point d'inflexion, puis densité t e^(−t) : fonction de répartition, intégration par parties et espérance égale à 2

Q1. En $-\infty$. ${\lim }_{x\to -\infty }(x+1)=-\infty$ et, en posant $u=-x\to +\infty$, ${\lim }_{x\to -\infty }{\mathrm{e}}^{-x}={\lim }_{u\to +\infty }{\mathrm{e}}^u=+\infty$. Par produit,

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }G(x)=-\infty .}$$

En $+\infty$. Il y a une forme indéterminée « $\infty \times 0$ ». On écrit

$$G(x)=\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}+{\mathrm{e}}^{-x}.$$

Par croissances comparées, $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$, donc son inverse $\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$ ; et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$. Par somme,

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }G(x)=0},$$

et la courbe de $G$ admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Ce que le correcteur attend : en $+\infty$, le nom du théorème (croissances comparées) ; « $x\to +\infty$ et ${\mathrm{e}}^{-x}\to 0$ donc le produit tend vers $0$ » n'est pas une justification.

Q2. $G$ est le produit de $x\mapsto x+1$ et de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$, dérivables sur $\mathbb{R}$, de dérivées $1$ et $-{\mathrm{e}}^{-x}$. Par la règle du produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ :

$$G^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^{-x}+(x+1)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)={\mathrm{e}}^{-x}(1-x-1)=\boxed{-x{\mathrm{e}}^{-x}}.$$

Q3. Comme ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ pour tout $x$, $G^{\prime }(x)$ a le signe de $-x$ : $G^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,0[$, $G^{\prime }(0)=0$, $G^{\prime }(x)<0$ sur $]0,+\infty [$. De plus $G(0)=(0+1){\mathrm{e}}^0=1$.

$$\begin{array}{cccccc}x& -\infty & & 0& & +\infty \\ G^{\prime }(x)& & +& 0& -& \\ G(x)& -\infty & \nearrow & 1& \searrow & 0\end{array}$$