Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Partie I (Q1.a à Q6) : Étude de x e^(1−x) et de (x²/2) e^(1−x) : dérivées, variations, point d'inflexion (2, 2/e), limites par croissances comparées et tableaux

Q1. (a) La fonction $x\mapsto 1-x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $-1$ ; par la règle de dérivation d'une composée $({\mathrm{e}}^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$, la fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{1-x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $x\mapsto -{\mathrm{e}}^{1-x}$. La fonction $f_1$ est le produit de $x\mapsto x$ et de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{1-x}$, toutes deux dérivables sur $\mathbb{R}$ ; par la règle du produit $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, pour tout réel $x$,

$$f_1^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^{1-x}+x\times \left(-{\mathrm{e}}^{1-x}\right)=\boxed{(1-x){\mathrm{e}}^{1-x}}.$$

(b) Pour tout réel $x$, ${\mathrm{e}}^{1-x}>0$ : $f_1^{\prime }(x)$ a donc le signe de $1-x$. Ainsi $f_1^{\prime }(x)>0$ sur $]-\infty ,1[$, $f_1^{\prime }(1)=0$ et $f_1^{\prime }(x)<0$ sur $]1,+\infty [$. La dérivée ne s'annulant qu'en un point, le théorème « signe de la dérivée et sens de variation » donne :

$$\boxed{f_1\text{ est strictement croissante sur }]-\infty ,1]\text{ et strictement deˊcroissante sur }[1,+\infty [,}$$

avec un maximum en $1$ égal à $f_1(1)=1\times {\mathrm{e}}^0=1$.

Ce que le correcteur attend : le rapport du jury déplore que peu de copies fassent le lien entre le signe de la dérivée et les variations ; il faut écrire la positivité de ${\mathrm{e}}^{1-x}$, puis le signe du facteur restant.

(c) La fonction $f_1^{\prime }$ est le produit de $x\mapsto 1-x$ et de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{1-x}$, dérivables sur $\mathbb{R}$. Par la règle du produit,