Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Parties III et IV (Q10.a à Q13.b) : Intégrales de e^(1−t) et t e^(1−t) sur [0, +∞[ par intégration par parties, puis densité t e^(−t) : fonction de répartition et espérance égale à 2

Sujet officiel du concours BSB, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N$ et $A \in R^{+}$ , on pose $I_{n} (A) = \int_{0}^{A} f_{n} (t) d t = \int_{0}^{A} \frac{t ^{n}}{n !} e^{1 - t} d t$ , et $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} f_{n} (t) d t$ lorsque cette intégrale converge.

Q10. (a) Calculer $I_{0} (A) = \int_{0}^{A} e^{1 - t} d t$ . (b) En déduire que $I_{0}$ converge et vaut $e$ .
Q11. (a) Par intégration par parties, montrer que $I_{1} (A) = - A e^{1 - A} + I_{0} (A)$ . (b) En déduire $I_{1} (A) = - A e^{1 - A} - e^{1 - A} + e$ . (c) Montrer que $I_{1}$ converge et vaut $e$ .

Le sujet admet que $I_{2} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{2}}{2} e^{1 - t} d t$ converge et vaut $e$ .

On pose $g (t) = 0$ si $t < 0$ et $g (t) = \frac{1}{e} f_{1} (t)$ si $t ⩾ 0$ .
Q12. Montrer que $g$ est une densité de probabilité.
Q13. Soit $X$ une variable aléatoire de densité $g$ , de fonction de répartition $G$ . (a) Calculer $G (x)$ selon que $x < 0$ ou $x ⩾ 0$ . (b) À l'aide de $I_{2}$ , montrer que $X$ admet une espérance et la calculer.

Corrigé

Q10. (a) Soit $A \in R^{+}$ . La fonction $t \mapsto e^{1 - t}$ est continue sur $[0, A]$ et admet pour primitive $t \mapsto - e^{1 - t}$ (la dérivée de $- e^{1 - t}$ est $- (- 1) e^{1 - t} = e^{1 - t}$ ). Donc

$I_{0} (A) = [- e^{1 - t}]_{0}^{A} = - e^{1 - A} + e^{1} = e - e^{1 - A} .$

(b) Quand $A \to + \infty$ , $1 - A \to - \infty$ , donc $e^{1 - A} \to 0$ (limite de l'exponentielle en $- \infty$ , par composition). Ainsi $I_{0} (A) \to e$ : la limite existe et est finie. Par définition d'une intégrale sur un intervalle non borné à droite,

$I_{0} = \int_{0}^{+ \infty} e^{1 - t} d t converge et I_{0} = e .$

Q11. (a) Soit $A \in R^{+}$ . On intègre par parties sur le segment $[0, A]$ en posant

$u (t) = t, u^{'} (t) = 1, v^{'} (t) = e^{1 - t}, v (t) = - e^{1 - t} .$

Les fonctions $u$ , $u^{'}$ , $v$ , $v^{'}$ sont continues sur $[0, A]$ : le théorème d'intégration par parties s'applique et

$I_{1} (A) = \int_{0}^{A} t e^{1 - t} d t = [- t e^{1 - t}]_{0}^{A} - \int_{0}^{A} 1 \times (- e^{1 - t}) d t = (- A e^{1 - A} + 0) + \int_{0}^{A} e^{1 - t} d t,$

c'est-à-dire

$I_{1} (A) = - A e^{1 - A} + I_{0} (A) .$

(b) En reportant l'expression de $I_{0} (A)$ obtenue en Q10.a :

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