Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie III (Q8 à Q12) : Relation de récurrence d'ordre 2 u(n+2) = 11u(n+1) − 24u(n) : racines 3 et 8, constantes par les conditions initiales et retour à v(n)

Sujet officiel du concours BSB, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes suites : $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 2$ , $u_{n + 1} = 5 u_{n} + 2 v_{n}$ et $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 6 v_{n}$ pour tout $n \in N$ .

Q8. Calculer $u_{1}$ et $v_{1}$ .
Q9. En remarquant la relation $(*)$ : $v_{n} = \frac{1}{2} (u_{n + 1} - 5 u_{n})$ , montrer que $u_{n + 2} = 11 u_{n + 1} - 24 u_{n}$ pour tout $n \in N$ .
Q10. Déterminer les racines $x_{1}$ et $x_{2}$ du polynôme $X^{2} - 11 X + 24$ .
Q11. On admet l'existence de réels $a$ et $b$ tels que $u_{n} = a x_{1}^{n} + b x_{2}^{n}$ pour tout $n \in N$ . Déterminer $a$ et $b$ à l'aide de $u_{0}$ et $u_{1}$ .
Q12. En déduire $u_{n} = - \frac{1}{5} 3^{n} + \frac{6}{5} 8^{n}$ , puis, à l'aide de $(*)$ , $v_{n} = \frac{1}{5} 3^{n} + \frac{9}{5} 8^{n}$ .

Corrigé

Q8. Avec $n = 0$ dans les relations de récurrence :

$u_{1} = 5 u_{0} + 2 v_{0} = 5 + 4 = 9, v_{1} = 3 u_{0} + 6 v_{0} = 3 + 12 = 15.$

Ce que le correcteur attend : ce calcul élémentaire, que le rapport du jury signale comme mal réussi ; il sert en Q11.

Q9. La relation $(*)$ . Pour tout $n \in N$ , la première relation de récurrence s'écrit $2 v_{n} = u_{n + 1} - 5 u_{n}$ , d'où $v_{n} = \frac{1}{2} (u_{n + 1} - 5 u_{n})$ .

La relation $(* *)$ . Soit $n \in N$ . On applique la première relation au rang $n + 1$ , puis la seconde, puis $(*)$ :

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