Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie IV (Q13.a à Q17.b) : Matrice 2 × 2 : écriture X(n+1) = MX(n), polynôme annulateur, valeurs propres 3 et 8, diagonalisation et puissances Mⁿ = PDⁿP⁻¹

Sujet officiel du concours BSB, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ . On pose $M = (5326)$ et $X_{n} = (u_{n} v_{n})$ pour $n \in N$ ; $I_{2}$ est la matrice identité d'ordre $2$ .

Q13. (a) Vérifier que $X_{n + 1} = M X_{n}$ . (b) Montrer par récurrence que $X_{n} = M^{n} X_{0}$ pour tout $n \in N$ .
Q14. (a) Calculer $M^{2}$ , puis $M^{2} - 11 M + 24 I_{2}$ . (b) En déduire un polynôme annulateur de $M$ . (c) Déterminer les valeurs propres possibles de $M$ .
Q15. Vérifier que $(1 - 1)$ et $(23)$ sont vecteurs propres de $M$ et donner les valeurs propres associées.
Q16. Soit $P = (1 - 1 23)$ et $D = (3008)$ . (a) Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{- 1}$ . (b) Montrer que $M P = P D$ et en déduire que $M$ est diagonalisable. (c) Montrer par récurrence que $M^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ pour tout $n \in N$ .
Q17. (a) Donner les coefficients de $D^{n}$ , puis ceux de $M^{n}$ . (b) À l'aide de Q13.b, retrouver les termes généraux de $(u_{n})$ et $(v_{n})$ .

Corrigé

Q13. (a) Soit $n \in N$ . Par définition du produit d'une matrice par une colonne,

$M X_{n} = (5326) (u_{n} v_{n}) = (5 u_{n} + 2 v_{n} 3 u_{n} + 6 v_{n}) = (u_{n + 1} v_{n + 1}) = X_{n + 1} .$

(b) Pour $n \in N$ , notons $P (n)$ la proposition « $X_{n} = M^{n} X_{0}$ ».

Initialisation. $M^{0} = I_{2}$ par convention, donc $M^{0} X_{0} = I_{2} X_{0} = X_{0}$ : $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in N$ tel que $P (n)$ soit vraie. D'après Q13.a puis l'hypothèse de récurrence, et par associativité du produit matriciel,

$X_{n + 1} = M X_{n} = M (M^{n} X_{0}) = (M M^{n}) X_{0} = M^{n + 1} X_{0},$

donc $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Par récurrence, $X_{n} = M^{n} X_{0} pour tout n \in N .$

Q14. (a) Ligne par colonne :

$M^{2} = (5 \times 5 + 2 \times 3 3 \times 5 + 6 \times 3 5 \times 2 + 2 \times 6 3 \times 2 + 6 \times 6) = (31332242) .$

Puis, en n'oubliant pas que le terme constant multiplie $I_{2}$ ,

$M^{2} - 11 M + 24 I_{2} = (31332242) - (55332266) + (240024) = (0000) .$

(b) D'après Q14.a, le polynôme

$Q (X) = X^{2} - 11 X + 24$

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