Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Parties I et II (Q1 à Q7) : Deux suites imbriquées : récurrence, monotonie, suites auxiliaires géométriques de raisons 8 et 3, système 2 × 2 et termes généraux

Sujet officiel du concours BSB, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les suites $(u_{n})_{n \in N}$ et $(v_{n})_{n \in N}$ sont définies par $u_{0} = 1$ , $v_{0} = 2$ et, pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} = 5 u_{n} + 2 v_{n}$ et $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 6 v_{n}$ .

Q1. Montrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ et $v_{n}$ sont des entiers strictement positifs.
Q2. En déduire que $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont strictement croissantes.

On pose, pour tout $n \in N$ , $x_{n} = u_{n} + v_{n}$ et $y_{n} = 3 u_{n} - 2 v_{n}$ .
Q3. Calculer $x_{0}$ et $y_{0}$ .
Q4. Montrer que $(x_{n})$ est géométrique de raison $8$ et donner son terme général.
Q5. Montrer que $(y_{n})$ est géométrique de raison $3$ et donner son terme général.
Q6. Résoudre le système $u_{n} + v_{n} = x_{n}$ , $3 u_{n} - 2 v_{n} = y_{n}$ , d'inconnues $u_{n}$ , $v_{n}$ .
Q7. En déduire que $u_{n} = - \frac{1}{5} 3^{n} + \frac{6}{5} 8^{n}$ et $v_{n} = \frac{1}{5} 3^{n} + \frac{9}{5} 8^{n}$ pour tout $n \in N$ .

Corrigé

Q1. Pour $n \in N$ , notons $P (n)$ la proposition « $u_{n}$ et $v_{n}$ sont des entiers strictement positifs ».

Initialisation. $u_{0} = 1$ et $v_{0} = 2$ sont des entiers strictement positifs : $P (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in N$ fixé tel que $P (n)$ soit vraie. Alors :

$u_{n + 1} = 5 u_{n} + 2 v_{n}$ et $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 6 v_{n}$ sont des sommes de produits d'entiers, donc des entiers ;
comme $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$ , on a $5 u_{n} > 0$ et $2 v_{n} > 0$ , donc $u_{n + 1} > 0$ ; de même $3 u_{n} > 0$ et $6 v_{n} > 0$ , donc $v_{n + 1} > 0$ .

Ainsi $P (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, $pour tout n \in N, u_{n} et v_{n} sont des entiers strictement positifs.$

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