Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie I (Q1 à Q6) : Urne de jetons bicolores (n = 4) : loi conjointe triangulaire, lois marginales, espérances et variances, covariance 1/2 et non-indépendance

Q1. Pour $n=4$, l'urne contient, pour chaque $k\in \{1,2,3,4\}$, les $k$ jetons $(k,1),(k,2),\dots ,(k,k)$ :

• $k=1$ : le seul jeton $(1,1)$ ;
• $k=2$ : $(2,1)$ et $(2,2)$ ;
• $k=3$ : $(3,1)$, $(3,2)$ et $(3,3)$ ;
• $k=4$ : $(4,1)$, $(4,2)$, $(4,3)$ et $(4,4)$.

Cela fait $1+2+3+4=\frac{4\times 5}{2}=10$ jetons, qui sont exactement ceux de la liste. Un jeton $(i,j)$ est dans l'urne si et seulement si $1⩽j⩽i⩽4$.

Q2. (a) Les numéros bleus présents sont $1,2,3,4$, et les numéros rouges aussi (le jeton $(4,j)$ porte le rouge $j$ pour chaque $j\in \{1,2,3,4\}$) :

$$\boxed{B(\Omega )=\{1,2,3,4\},R(\Omega )=\{1,2,3,4\}.}$$

(b) Le jeton est tiré au hasard : on munit l'ensemble des $10$ jetons de la probabilité uniforme, chaque jeton ayant la probabilité $\frac{1}{10}$. L'événement $(B=1)\cap (R=1)$ est réalisé par le seul jeton $(1,1)$, donc

$$\boxed{P((B=1)\cap (R=1))=\frac{1}{10}.}$$

Aucun jeton ne porte le bleu $1$ et le rouge $2$ (le seul jeton de bleu $1$ a pour rouge $1$) : l'événement $(B=1)\cap (R=2)$ est impossible, et $\boxed{P((B=1)\cap (R=2))=0.}$

(c) Plus généralement, pour $(i,j)\in \{1,2,3,4{\}}^2$, l'événement $(B=i)\cap (R=j)$ est réalisé par le seul jeton $(i,j)$ s'il existe, c'est-à-dire si $j⩽i$, et par aucun sinon :

$$P((B=i)\cap (R=j))=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}& \text{si }j⩽i,\\ 0& \text{si }j>i.\end{array}$$