Corrigé BSB 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie II (Q7 à Q9.d) : Tirages avec remise : temps d'attente du premier succès (loi géométrique de paramètre 1/10), loi binomiale et loi du rang du second succès

Q7. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Le « jeton numéroté $1$ en bleu » est l'unique jeton de numéro bleu $1$, à savoir $(1,1)$ : l'obtenir au $k$-ième tirage, c'est exactement avoir $B_k=1$, d'où $S_k=(B_k=1)$. De plus, ce jeton porte le numéro rouge $1$ (Q1) : si $B_k=1$, alors $R_k=1$. Donc $(B_k=1)\subset (R_k=1)$, ce qui donne $(B_k=1)=(B_k=1)\cap (R_k=1)$.

Les tirages se font avec remise : au $k$-ième tirage, l'urne contient de nouveau les $10$ jetons, et chacun a la probabilité $\frac{1}{10}$ d'être tiré. D'après Q2.b (le calcul ne dépend pas du rang du tirage),

$$\boxed{P(S_k)=P((B_k=1)\cap (R_k=1))=\frac{1}{10}.}$$

Q8. On répète la même épreuve (tirer un jeton dans l'urne complète), les répétitions étant indépendantes puisque les tirages ont lieu avec remise. On appelle succès l'événement « obtenir le jeton $(1,1)$ », de probabilité $p=\frac{1}{10}$ à chaque tirage (Q7). La variable $T_1$ est le rang du premier succès : c'est la reconnaissance, exigible au programme, de la loi géométrique.