Corrigé CCINP 2025 Maths 1 MP-MPI — Exercice I (Q1 à Q2) : Image d'une dérivée vectorielle : connexe par arcs si C¹, pas en général

Q1. Dire que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]-1,1[$, c'est dire que $f$ y est dérivable et que sa dérivée $f^{\prime }:]-1,1[\to {\mathbb{R}}^2$ est continue. L'intervalle $]-1,1[$ est convexe, donc connexe par arcs : deux points $s,t$ de $]-1,1[$ sont joints par le chemin $\gamma :\lambda \mapsto (1-\lambda )s+\lambda t$, continu de $[0,1]$ dans $]-1,1[$.

On applique alors le théorème : l'image d'une partie connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs. Explicitement, soient $A=f^{\prime }(s)$ et $B=f^{\prime }(t)$ deux points de $f^{\prime }(]-1,1[)$ ; l'application $f^{\prime }\circ \gamma$ est continue sur $[0,1]$ (composée de deux applications continues), à valeurs dans $f^{\prime }(]-1,1[)$, et vaut $A$ en $0$, $B$ en $1$. C'est un chemin joignant $A$ à $B$ dans $f^{\prime }(]-1,1[)$, qui est donc connexe par arcs.

Ce que le correcteur attend : l'hypothèse utilisée est la continuité de $f^{\prime }$, et non la seule dérivabilité de $f$ ; la question Q2 montre qu'elle est indispensable.

Q2. a) Dérivabilité en $0$. Une fonction à valeurs dans ${\mathbb{R}}^2$ est dérivable en un point si et seulement si son taux d'accroissement y admet une limite. Pour $t\in ]-1,0[$, $\frac{f(t)-f(0)}{t}=(0,0)$. Pour $t\in ]0,1[$,