Corrigé CCINP 2025 Maths 1 MP-MPI — Exercice II (Q3 à Q4) : Minimum d'une fonction quadratique : hessienne, puis projection orthogonale

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths 1 MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $(x, y) \in R^{2}$ , on pose $f (x, y) = (2 - x - y)^{2} + (1 - x)^{2} + (1 - 2 x - y)^{2}$ ; on cherche $min_{R^{2}} f$ .

Q3. Déterminer l'unique point critique de $f$ , montrer à l'aide de la hessienne que c'est un minimum local et, en l'admettant global, donner la valeur du minimum.
Q4. Dans $R^{3}$ euclidien canonique (produit scalaire $⟨ \cdot ∣ \cdot ⟩$ , norme $∥ \cdot ∥$ ), on pose $a = (2, 1, 1)$ , $u = (1, 1, 2)$ , $v = (1, 0, 1)$ , $F = vect {u, v}$ , et $b$ le projeté orthogonal de $a$ sur $F$ . Justifier que $⟨ a - b ∣ u ⟩ = ⟨ a - b ∣ v ⟩ = 0$ , en déduire $b$ , puis la valeur de $min_{R^{2}} f$ .

Corrigé

Q3. Point critique. La fonction $f$ est polynomiale, donc de classe $C^{2}$ (et même $C^{\infty}$ ) sur l'ouvert $R^{2}$ . Ses dérivées partielles valent

$\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = - 2 (2 - x - y) - 2 (1 - x) - 4 (1 - 2 x - y) = 12 x + 6 y - 10, = - 2 (2 - x - y) - 2 (1 - 2 x - y) = 6 x + 4 y - 6.$

Le point $(x, y)$ est critique si et seulement si

${12 x + 6 y = 10 6 x + 4 y = 6 ⟺ {6 x + 3 y = 5 6 x + 4 y = 6 ⟺ {y = 1 6 x = 2 ⟺ (x, y) = (\frac{1}{3}, 1),$

la deuxième équivalence s'obtenant en soustrayant la première ligne à la seconde. L'unique point critique de $f$ est $z_{0} = (\frac{1}{3}, 1)$ .

Hessienne. Les dérivées partielles secondes sont constantes :

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} = 12, \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x} = 6, \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} = 4, donc H_{f} (z_{0}) = (12664) .$

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