Corrigé CCINP 2025 Maths 1 MP-MPI — Problème — Partie I (Q5 à Q10) : Comparaison série-intégrale : séries de Bertrand, constante d'Euler, série de fonctions

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths 1 MP-MPI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans cette partie, $f$ est continue, positive et décroissante sur $R_{+}$ . On pose $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} f (k)$ et $J_{n} = \int_{0}^{n} f (t) d t$ pour $n \in N$ , et $I_{k} = \int_{k - 1}^{k} f (t) d t$ pour $k \in N^{*}$ .

Q5. Donner la monotonie de $(S_{n})$ et $(J_{n})$ ; montrer que $f (k) \leq I_{k} \leq f (k - 1)$ pour $k \geq 1$ .
Q6. Montrer que $S_{n} - f (0) \leq J_{n} \leq S_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ .
Q7. Montrer : (1) $f$ est intégrable sur $R_{+}$ si et seulement si $\sum f (n)$ converge ; (2) la série $\sum_{n \geq 1} (I_{n} - f (n))$ converge.
Q8. Pour $α > 0$ et $x \geq 2$ , on pose $f (x) = \frac{1}{x ( l n x ) ^{α}}$ .
a) Étudier la monotonie de $f$ , calculer $\int_{2}^{x} f (t) d t$ et en déduire la nature de $\sum_{n \geq 2} \frac{1}{n ( l n n ) ^{α}}$ .
b) Pour $α = 2$ , encadrer $\sum_{n = 2}^{+ \infty} \frac{1}{n ( l n n ) ^{2}}$ à l'aide de $ln 2$ .
Q9. On pose $T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - ln n$ pour $n \geq 1$ .
a) À l'aide de Q7 (2), montrer que $(T_{n})$ converge ; sa limite est notée $γ$ .
b) Justifier que $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = ln n + γ + o (1)$ et en déduire un équivalent de $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ .
Q10. Pour $x > 0$ , on pose $g_{n} (x) = \frac{x}{n ^{2} + x ^{2}}$ ( $n \geq 1$ ).
a) Étudier la convergence normale de $\sum g_{n}$ sur $] 0, + \infty [$ .
b) Avec $f (t) = \frac{x}{t ^{2} + x ^{2}}$ , $x$ fixé, montrer que $\int_{1}^{n + 1} f \leq \sum_{k = 1}^{n} f (k) \leq \int_{0}^{n} f$ .
c) En déduire $\frac{π}{2} - arctan \frac{1}{x} \leq \sum_{n = 1}^{+ \infty} g_{n} (x) \leq \frac{π}{2}$ .
d) Déterminer la limite de $\sum_{n = 1}^{+ \infty} g_{n} (x)$ quand $x \to + \infty$ . La convergence est-elle uniforme sur $] 0, + \infty [$ ?

Corrigé

Q5. Monotonie. Pour $n \in N$ , $S_{n + 1} - S_{n} = f (n + 1) \geq 0$ car $f$ est positive : $(S_{n})$ est croissante. Par la relation de Chasles, $J_{n + 1} - J_{n} = \int_{n}^{n + 1} f (t) d t \geq 0$ , par positivité de l'intégrale ( $f \geq 0$ et $n \leq n + 1$ ) : $(J_{n})$ est croissante.

Encadrement. Soit $k \in N^{*}$ . Pour $t \in [k - 1, k]$ , la décroissance de $f$ donne $f (k) \leq f (t) \leq f (k - 1)$ . Les trois fonctions étant continues sur le segment $[k - 1, k]$ , de longueur $1$ , la croissance de l'intégrale donne

$f (k) = \int_{k - 1}^{k} f (k) d t \leq \int_{k - 1}^{k} f (t) d t \leq \int_{k - 1}^{k} f (k - 1) d t = f (k - 1) .$

Q6. Soit $n \in N^{*}$ . Sommons l'encadrement de Q5 pour $k$ allant de $1$ à $n$ . Par la relation de Chasles, $\sum_{k = 1}^{n} I_{k} = \int_{0}^{n} f (t) d t = J_{n}$ ; d'autre part $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = S_{n} - f (0)$ et, en posant $j = k - 1$ , $\sum_{k = 1}^{n} f (k - 1) = \sum_{j = 0}^{n - 1} f (j) = S_{n - 1}$ . D'où

$S_{n} - f (0) \leq J_{n} \leq S_{n - 1} .$

Q7. (1) La fonction $f$ est continue et positive sur $R_{+}$ ; notons $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ , fonction croissante de $x$ (même argument qu'en Q5). Par le critère d'intégrabilité des fonctions positives, $f$ est intégrable sur $R_{+}$ si et seulement si $F$ est majorée sur $R_{+}$ . De même, la série $\sum f (n)$ est à termes positifs : elle converge si et seulement si la suite croissante $(S_{n})$ est majorée.

Si $\sum f (n)$ converge, notons $S = \sum_{k = 0}^{+ \infty} f (k)$ ; la suite $(S_{n})$ , croissante, vérifie $S_{n} \leq S$ pour tout $n$ . Soit $x \geq 0$ et $m = ⌊ x ⌋ + 1 \geq 1$ ; comme $F$ est croissante et $x \leq m$ , Q6 donne $F (x) \leq F (m) = J_{m} \leq S_{m - 1} \leq S$ . Donc $F$ est majorée et $f$ est intégrable sur $R_{+}$ .

Si $f$ est intégrable sur $R_{+}$ , notons $J = \int_{0}^{+ \infty} f (t) d t$ ; on a $J_{n} = F (n) \leq J$ pour tout $n$ ( $F$ croissante, de limite $J$ ). Par Q6, $S_{n} \leq f (0) + J_{n} \leq f (0) + J$ pour tout $n \geq 1$ : la suite $(S_{n})$ est majorée, donc la série à termes positifs $\sum f (n)$ converge.

(2) Posons $w_{n} = I_{n} - f (n)$ pour $n \geq 1$ . D'après Q5, $0 \leq w_{n} \leq f (n - 1) - f (n)$ . Or la série $\sum_{n \geq 1} (f (n - 1) - f (n))$ est télescopique : $\sum_{n = 1}^{N} (f (n - 1) - f (n)) = f (0) - f (N) \leq f (0)$ , car $f (N) \geq 0$ . Les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum w_{n}$ sont donc majorées par $f (0)$ : la série $\sum_{n \geq 1} (I_{n} - f (n))$ converge, et sa somme est comprise entre $0$ et $f (0)$ .

Q8. a) Monotonie. Sur $[2, + \infty [$ , $x > 0$ et $ln x \geq ln 2 > 0$ , donc $f$ est bien définie, continue et strictement positive. Posons $h (x) = x (ln x)^{α}$ , dérivable sur $[2, + \infty [$ :

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