Corrigé CCINP 2025 Maths 1 MP-MPI — Problème — Partie II (Q11 à Q12) : Sans décroissance, pas de comparaison série-intégrale : deux contre-exemples

Q11. a) Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour $t\in [n,n+\frac{1}{2}]$, $2\pi t\in [2n\pi ,2n\pi +\pi ]$, donc $\sin (2\pi t)\ge 0$ ; pour $t\in [n+\frac{1}{2},n+1]$, $2\pi t\in [2n\pi +\pi ,2n\pi +2\pi ]$, donc $\sin (2\pi t)\le 0$. Par la relation de Chasles,

$$\begin{array}{rl}{\int }_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t& ={\int }_n^{n+\frac{1}{2}}\sin (2\pi t)\mathrm{d}t-{\int }_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}\sin (2\pi t)\mathrm{d}t\\ & =[-\frac{\cos (2\pi t)}{2\pi }{]}_n^{n+\frac{1}{2}}+[\frac{\cos (2\pi t)}{2\pi }{]}_{n+\frac{1}{2}}^{n+1}\\ & =\frac{-\cos (2n\pi +\pi )+\cos (2n\pi )}{2\pi }+\frac{\cos (2n\pi +2\pi )-\cos (2n\pi +\pi )}{2\pi }\\ & =\frac{1+1}{2\pi }+\frac{1+1}{2\pi }=\frac{2}{\pi }.\end{array}$$

b) Soit $x\ge 1$ et $m=\lfloor x\rfloor$, entier tel que $1\le m\le x$. La fonction $f$ est continue et positive, donc, par positivité de l'intégrale sur $[m,x]$ puis par Chasles et a),

$${\int }_1^{x}f(t)\mathrm{d}t\ge {\int }_1^{m}f(t)\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{m-1}{\int }_n^{n+1}f(t)\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi }(m-1)=\frac{2}{\pi }(\lfloor x\rfloor -1)$$

(si $m=1$, la somme est vide et les deux membres sont nuls).

Intégrabilité. Le minorant $\frac{2}{\pi }(\lfloor x\rfloor -1)$ tend vers $+\infty$ quand $x\to +\infty$ : la fonction $x\mapsto {\int }_1^{x}f$ n'est pas majorée. La fonction $f$ étant continue et positive, le critère d'intégrabilité des fonctions positives montre que $f$ n'est pas intégrable sur $[1,+\infty [$.