Corrigé CCINP 2025 Maths 2 MP — Exercice 2 (Q7 à Q12) : Polynômes de Tchebychev : base orthonormale pour le poids 1/√(1−t²)

Q7. Montrons par récurrence double que, pour tout $n\ge 1$, $P_n$ est de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n-1}$, c'est-à-dire de terme dominant $2^{n-1}{X}^n$.

Initialisation. $P_1=X$ : degré $1$, coefficient dominant $1=2^0$. $P_2=2X\cdot X-1=2X^2-1$ : degré $2$, coefficient dominant $2=2^1$.

Hérédité. Soit $n\ge 1$ tel que l'assertion soit vraie aux rangs $n$ et $n+1$. Le polynôme $2X{P}_{n+1}$ est de degré $n+2$ et de coefficient dominant $2\cdot 2^n=2^{n+1}$, tandis que $\mathrm{deg}{P}_n=n<n+2$. Dans $P_{n+2}=2X{P}_{n+1}-P_n$, le terme de degré $n+2$ provient donc du seul $2X{P}_{n+1}$ : $P_{n+2}$ est de degré $n+2$ et de coefficient dominant $2^{n+1}=2^{(n+2)-1}$.

Conclusion.

$$\begin{array}{c}\mathrm{deg}{P}_0=0,\text{terme dominant }1;\\ \forall n\ge 1,\mathrm{deg}{P}_n=n,\text{terme dominant }{2}^{n-1}{X}^n.\end{array}$$

Ce que le correcteur attend : le cas $n=0$ à part ($2^{-1}$ serait faux) ; c'est d'ailleurs pourquoi on initialise la récurrence en $n=1$ et $n=2$ : l'hérédité de $P_1,P_2$ vers $P_3$ utilise $\mathrm{deg}{P}_1=1$, tandis que le passage de $P_0,P_1$ à $P_2$ a été vérifié à la main.

Q8. Fixons $\theta \in \mathbb{R}$ et montrons par récurrence double que $P_n(\cos \theta )=\cos (n\theta )$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.

Initialisation. $P_0(\cos \theta )=1=\cos (0\cdot \theta )$ et $P_1(\cos \theta )=\cos \theta$.

Hérédité. Supposons la propriété vraie aux rangs $n$ et $n+1$. L'évaluation en $\cos \theta$ est compatible avec les opérations sur les polynômes, donc

$$P_{n+2}(\cos \theta )=2\cos \theta P_{n+1}(\cos \theta )-P_n(\cos \theta )=2\cos \theta \cos ((n+1)\theta )-\cos (n\theta ).$$

La formule $2\cos a\cos b=\cos (a+b)+\cos (a-b)$, avec $a=(n+1)\theta$ et $b=\theta$, donne $2\cos \theta \cos ((n+1)\theta )=\cos ((n+2)\theta )+\cos (n\theta )$, d'où

$$P_{n+2}(\cos \theta )=\cos ((n+2)\theta ).$$