Corrigé CCINP 2025 Maths 2 MP — Problème, partie I (Q13 à Q18) : Matrices aléatoires UUᵀ de rang 1 : lois de Bernoulli, binomiale, Poisson ; la matrice J

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 2$ est un entier. $M_{n} (R)$ , $M_{n, 1} (R)$ , $M_{1, n} (R)$ : matrices carrées, colonnes, lignes réelles d'ordre $n$ . $X_{1}, \dots, X_{n}$ sont des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli $B (p)$ , $p \in] 0, 1 [$ ; $U$ est la colonne de coefficients $X_{1}, \dots, X_{n}$ et $M = U U^{T}$ , de coefficients $M_{i, j} = X_{i} X_{j}$ .

Q13. Montrer que $Y = rg (M)$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $1 - (1 - p)^{n}$ .
Q14. Reconnaître la loi de $Tr (M)$ .
Q15. Vérifier que $M^{2} = Tr (M) M$ ; en déduire la probabilité que $M$ soit une matrice de projection.
Q16. Même question lorsque les $X_{i}$ sont indépendantes de même loi de Poisson $P (λ)$ , $λ > 0$ .
Q17. $J \in M_{n} (R)$ a tous ses coefficients égaux à $1$ : rang, trace, diagonalisation avec matrice de passage.
Q18. Donner une matrice d'ordre $3$ , de rang $1$ , non diagonalisable ; préciser sa trace.

Corrigé

Q13. Fixons une issue $ω$ et notons $x_{i} = X_{i} (ω) \in {0, 1}$ , $u = U (ω)$ , $m = M (ω) = u u^{T}$ .

Si $u = 0$ , c'est-à-dire si tous les $x_{i}$ sont nuls, alors $m = 0$ et $rg (m) = 0$ .

Si $u \neq = 0$ , la $j$ -ième colonne de $m = u u^{T}$ est $x_{j} u$ : toutes les colonnes sont colinéaires à $u$ , donc $Im (m) \subset Vect (u)$ et $rg (m) \leq 1$ . Par ailleurs il existe $i$ tel que $x_{i} = 1$ , et alors $m_{i, i} = x_{i}^{2} = 1 \neq = 0$ : $m \neq = 0$ , donc $rg (m) \geq 1$ . Ainsi $rg (m) = 1$ .

Par conséquent $Y$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ , et

$(Y = 0) = i = 1 ⋂ n (X_{i} = 0), autrement dit Y = 1 - i = 1 \prod n (1 - X_{i}),$

ce qui montre au passage que $Y$ est une variable aléatoire (fonction des $X_{i}$ ). Par indépendance des événements $(X_{i} = 0)$ , conséquence de l'indépendance des $X_{i}$ :

$P (Y = 0) = i = 1 \prod n P (X_{i} = 0) = (1 - p)^{n}, P (Y = 1) = 1 - (1 - p)^{n} .$

$Y$ suit donc la loi de Bernoulli $B (1 - (1 - p)^{n})$ .

Q14. $Tr (M) = \sum_{i = 1}^{n} M_{i, i} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ , puisque $X_{i}$ est à valeurs dans ${0, 1}$ , où $x^{2} = x$ . Somme de $n$ variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli $B (p)$ , $Tr (M)$ suit la loi binomiale $B (n, p)$ :

$\forall k \in {0, \dots, n}, P (Tr (M) = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .$

Ce que le correcteur attend : les deux points à écrire sont $X_{i}^{2} = X_{i}$ (même loi $B (p)$ ) et l'indépendance des $X_{i}$ ; c'est tout ce que le jury demandait.

Q15. L'identité. Par associativité du produit matriciel,

$M^{2} = (U U^{T}) (U U^{T}) = U (U^{T} U) U^{T},$

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