Corrigé CCINP 2025 Maths 2 MP — Problème, partie II (Q19 à Q25) : Matrices de rang 1 : A = CL, polynôme minimal, diagonalisabilité, classes de similitude

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$n \geq 2$ ; $A \in M_{n} (R)$ est de rang $1$ , et $u$ désigne l'endomorphisme de $R^{n}$ canoniquement associé à $A$ (à partir de Q23).

Q19. $C \in M_{n, 1} (R)$ étant la première colonne non nulle de $A$ , montrer qu'il existe une ligne $L \in M_{1, n} (R)$ non nulle telle que $A = C L$ .
Q20. Calculer le réel $L C$ ; en déduire $A^{2} = Tr (A) A$ .
Q21. Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $A$ .
Q22. Montrer : $A$ diagonalisable $⟺$ $Tr (A) \neq = 0$ .
Q23. On suppose $Im (u) \cap Ker (u) \neq = {0}$ . Montrer $Im (u) \subset Ker (u)$ , puis l'existence d'une base où la matrice de $u$ a pour seul coefficient non nul un $1$ en ligne $2$ , colonne $1$ .
Q24. On suppose $Im (u) \cap Ker (u) = {0}$ . Montrer l'existence d'une base où la matrice de $u$ est $diag (a, 0, \dots, 0)$ , avec $a$ réel non nul.
Q25. En conclure que deux matrices de rang $1$ de $M_{n} (R)$ sont semblables si et seulement si elles ont la même trace.

Corrigé

Q19. Notons $A_{1}, \dots, A_{n}$ les colonnes de $A$ . L'image de $A$ (vue comme application de $M_{n, 1} (R)$ dans lui-même) est $Vect (A_{1}, \dots, A_{n})$ , de dimension $rg (A) = 1$ . Puisque $rg (A) = 1$ , $A \neq = 0$ et $A$ possède une première colonne non nulle $C = A_{j_{0}}$ . La droite $Im (A)$ contient le vecteur non nul $C$ , donc $Im (A) = Vect (C)$ .

Chaque colonne $A_{j}$ appartient à $Im (A) = Vect (C)$ : il existe un réel $ℓ_{j}$ (unique, car $C \neq = 0$ ) tel que $A_{j} = ℓ_{j} C$ . Posons $L = (ℓ_{1} ℓ_{2} \dots ℓ_{n}) \in M_{1, n} (R)$ . La $j$ -ième colonne du produit $C L$ est $ℓ_{j} C = A_{j}$ ; donc

$A = C L .$

Enfin $ℓ_{j_{0}} = 1$ (car $A_{j_{0}} = C = 1 \cdot C$ ), donc $L \neq = 0$ . (On a de plus $ℓ_{j} = 0$ pour $j < j_{0}$ .)

Q20. Notons $C = (c_{i})_{1 \leq i \leq n}$ et $L = (ℓ_{j})_{1 \leq j \leq n}$ . Le produit $L C \in M_{1} (R)$ s'identifie au réel $\sum_{i = 1}^{n} ℓ_{i} c_{i}$ . Par ailleurs, $A = C L$ a pour coefficients $a_{i, j} = c_{i} ℓ_{j}$ , donc

$Tr (A) = i = 1 \sum n a_{i, i} = i = 1 \sum n c_{i} ℓ_{i} = L C .$

(C'est aussi la formule $Tr (C L) = Tr (L C)$ , valable pour des matrices rectangulaires de formats compatibles.) Par associativité du produit matriciel :

$A^{2} = (C L) (C L) = C (L C) L = Tr (A) C L = Tr (A) A .$

Q21. Posons $t = Tr (A)$ .

Polynôme caractéristique. Par le théorème du rang, $dim Ker (A) = n - 1 \geq 1$ : $0$ est valeur propre de $A$ , et $dim E_{0} (A) = n - 1$ . D'après l'encadrement de la dimension propre, la multiplicité $m_{0}$ de $0$ comme racine de $χ_{A}$ vérifie $m_{0} \geq dim E_{0} (A) = n - 1$ . Ainsi $X^{n - 1}$ divise $χ_{A}$ , unitaire de degré $n$ : il existe $c \in R$ tel que $χ_{A} = X^{n - 1} (X - c) = X^{n} - c X^{n - 1}$ . Or le coefficient de $X^{n - 1}$ dans $χ_{A}$ est $- Tr (A)$ ; donc $c = t$ et

$χ_{A} = X^{n - 1} (X - Tr (A)) .$

Polynôme minimal. D'après Q20, le polynôme $X^{2} - tX = X (X - t)$ annule $A$ ; le polynôme minimal $μ_{A}$ en est donc un diviseur unitaire. Il n'est pas constant (le polynôme $1$ n'annule pas $A$ , puisque $I_{n} \neq = 0$ ). Les diviseurs unitaires de degré $1$ de $X (X - t)$ sont $X$ et $X - t$ :

$μ_{A} = X$ signifierait $A = 0$ , ce qui contredit $rg (A) = 1$ ;
$μ_{A} = X - t$ signifierait $A = t I_{n}$ , de rang $n \geq 2$ si $t \neq = 0$ et de rang $0$ si $t = 0$ : contradiction dans les deux cas.

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