Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 1 — Partie I (Q1 à Q3) : L'endomorphisme M ↦ AM : linéarité, composition, isomorphisme si et seulement si A inversible

On fixe $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, on note ${\phi }_A:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})\to {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $M\mapsto AM$. On note $O_n$ et $I_n$ la matrice nulle et la matrice identité de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ ; ${\phi }_{O_n}$ est l'application nulle et ${\phi }_{I_n}$ l'identité.

Q1. Montrer que ${\phi }_A$ est un endomorphisme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.
Q2. Montrer que ${\phi }_A\circ {\phi }_B={\phi }_{AB}$ pour toutes $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$.
Q3. En déduire que ${\phi }_A$ est un isomorphisme si et seulement si $A$ est inversible (indication : antécédent de $I_n$).