CCINP 2025 — Maths PC : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière PC.

• Exercice 1 — Partie I (Q1 à Q3) — L'endomorphisme M ↦ AM : linéarité, composition, isomorphisme si et seulement si A inversible
• Exercice 1 — Partie II (Q4 à Q7) — Un exemple en taille 2 : matrice de φ_A dans la base canonique, sous-espaces propres, diagonalisabilité
• Exercice 1 — Partie III (Q8 à Q13) — Polynômes annulateurs de φ_A, même spectre que A, det(φ_A) = (det A)^n et tr(φ_A) = n tr A
• Exercice 2 — Partie I (Q14 à Q20) — Le produit scalaire à poids gaussien sur R[X] et l'intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre
• Exercice 2 — Partie II (Q21 à Q25) — Polynômes de Hermite : formule de Rodrigues, base orthogonale, norme
• Exercice 2 — Partie III (Q26 à Q30) — Série génératrice exp(2xz − z²) des polynômes de Hermite et formule intégrale de Cauchy
• Exercice 3 — Partie I (Q31 à Q33) — Urne enrichie en boules blanches : continuité décroissante et probabilités composées
• Exercice 3 — Partie II (Q34 à Q38) — P(E) = 0 si et seulement si la série des 1/S_k diverge : produit infini et séries à termes positifs