Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 1 — Partie II (Q4 à Q7) : Un exemple en taille 2 : matrice de φ_A dans la base canonique, sous-espaces propres, diagonalisabilité

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Ici $n = 2$ : on fixe $a \in C$ et $A = (10 1 a)$ . On note $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ les matrices élémentaires de $M_{2} (C)$ et $C = (E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22})$ la base canonique, dans cet ordre.

Q4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $A$ soit diagonalisable.
Q5. Déterminer la matrice de $φ_{A}$ dans la base $C$ .
Q6. En déduire les valeurs propres de $φ_{A}$ et la dimension de chaque sous-espace propre, selon $a$ .
Q7. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $φ_{A}$ soit diagonalisable.

Corrigé

Q4. La matrice $A$ est triangulaire supérieure, donc

$χ_{A} (X) = det (X I_{2} - A) = det (X - 1 0 - 1 X - a) = (X - 1) (X - a),$

et $Sp (A) = {1, a}$ .

Si $a \neq = 1$ . Le polynôme caractéristique est scindé à racines simples sur $C$ : $A$ , d'ordre $2$ , possède deux valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalisable (condition suffisante du cours).

Si $a = 1$ . Alors $Sp (A) = {1}$ . Si $A$ était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice diagonale portant sa seule valeur propre $1$ , c'est-à-dire à $I_{2}$ : on aurait $A = P I_{2} P^{- 1} = I_{2}$ , ce qui est faux puisque le coefficient $(1, 2)$ de $A$ vaut $1$ . Donc $A$ n'est pas diagonalisable. (De manière équivalente : $A - I_{2} = (0010)$ est de rang $1$ , donc $dim E_{1} (A) = 1 < 2$ .)

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