Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 2 — Partie III (Q26 à Q30) : Série génératrice exp(2xz − z²) des polynômes de Hermite et formule intégrale de Cauchy

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On fixe $x \in R$ ; $H_{n}$ et $f : t \mapsto e^{- t^{2}}$ sont ceux de la partie II.

III.1 — La série génératrice.
Q26. Développer en série entière $z \mapsto exp (2 x z)$ et $z \mapsto exp (- z^{2})$ sur $C$ , avec leurs rayons.
Q27. Montrer qu'il existe une suite complexe $(c_{n})$ telle que $\sum c_{n} z^{n}$ ait un rayon infini et $exp (- (x - z)^{2}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} z^{n}$ pour tout $z \in C$ .

Le sujet en déduit que $f (x - t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} c_{n} t^{n}$ pour tout réel $t$ .

Q28. À l'aide de cette relation et de Q22, montrer que $\sum \frac{H _{n} ( x )}{n !} z^{n}$ a un rayon infini et que $exp (2 x z - z^{2}) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{H _{n} ( x )}{n !} z^{n}$ pour tout $z \in C$ .

III.2 — Expression intégrale. On fixe $p \in N$ , on pose $G_{x} (z) = exp (2 x z - z^{2})$ et, pour $n \in N$ , $g_{n} (θ) = \frac{H _{n} ( x )}{n !} e^{i (n - p) θ}$ .

Q29. Montrer que $\sum g_{n}$ converge normalement sur $[0, 2 π]$ .
Q30. Montrer que $H_{p} (x) = \frac{p !}{2 π} \int_{0}^{2 π} G_{x} (e^{i θ}) e^{- i pθ} d θ$ .

Corrigé

Q26. La série exponentielle $\sum \frac{w ^{n}}{n !}$ converge pour tout $w \in C$ et a pour somme $exp (w)$ : son rayon est infini. En prenant $w = 2 x z$ puis $w = - z^{2}$ , pour tout $z \in C$ ,

$exp (2 x z) = n = 0 \sum + \infty \frac{( 2 x ) ^{n}}{n !} z^{n}, exp (- z^{2}) = n = 0 \sum + \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} z^{2 n} .$

Ces deux séries entières (en $z$ ) convergent en tout point de $C$ : leurs rayons sont infinis. (Si $x = 0$ , la première se réduit au polynôme constant $1$ , de rayon infini aussi.)

Q27. Pour $z \in C$ , $- (x - z)^{2} = - x^{2} + 2 x z - z^{2}$ , et l'exponentielle complexe transforme les sommes en produits :

$exp (- (x - z)^{2}) = e^{- x^{2}} exp (2 x z) exp (- z^{2}) .$

Notons $exp (- z^{2}) = \sum_{n \geq 0} b_{n} z^{n}$ (avec $b_{2 j} = \frac{( - 1 ) ^{j}}{j !}$ et $b_{2 j + 1} = 0$ ) et $a_{n} = \frac{( 2 x ) ^{n}}{n !}$ . Par le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries entières, la série entière $\sum d_{n} z^{n}$ , où $d_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , a un rayon supérieur ou égal au minimum des deux rayons, ici infini, et sa somme est le produit des sommes :

$\forall z \in C, exp (2 x z) exp (- z^{2}) = n = 0 \sum + \infty d_{n} z^{n} .$

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