Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 1 — Partie III (Q8 à Q13) : Polynômes annulateurs de φ_A, même spectre que A, det(φ_A) = (det A)^n et tr(φ_A) = n tr A

Q8. Par récurrence sur $k\in \mathbb{N}$, avec la convention ${\phi }_A^0={\mathrm{id}}_{{\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})}$ et $A^0=I_n$.

Initialisation ($k=0$). ${\phi }_A^0={\mathrm{id}}_{{\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})}={\phi }_{I_n}={\phi }_{A^0}$.

Hérédité. Supposons ${\phi }_A^k={\phi }_{A^k}$ pour un $k\in \mathbb{N}$. Alors, par Q2,

$${\phi }_A^{k+1}={\phi }_A\circ {\phi }_A^k={\phi }_A\circ {\phi }_{A^k}={\phi }_{A{A}^k}={\phi }_{A^{k+1}}.$$

Donc ${\phi }_A^k={\phi }_{A^k}$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.

Q9. Remarquons d'abord que $B\mapsto {\phi }_B$ est linéaire : pour $B,C\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $\mu \in \mathbb{C}$ et toute $M$, ${\phi }_{\mu B+C}(M)=(\mu B+C)M=\mu BM+CM=(\mu {\phi }_B+{\phi }_C)(M)$, donc ${\phi }_{\mu B+C}=\mu {\phi }_B+{\phi }_C$.

Soit $P={\sum }_{k=0}^d{a}_k{X}^k\in \mathbb{C}[X]$. Par définition de l'évaluation d'un polynôme en un endomorphisme, puis par Q8 et la linéarité précédente,

$$P({\phi }_A)=\sum _{k=0}^d{a}_k{\phi }_A^k=\sum _{k=0}^d{a}_k{\phi }_{A^k}={\phi }_{{\sum }_{k=0}^d{a}_k{A}^k}={\phi }_{P(A)}.$$

Q10. Rappel (caractérisation par les polynômes annulateurs). Un endomorphisme d'un espace de dimension finie, ou une matrice carrée, est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme est scindé : il suffit d'un annulateur non nul à racines simples.