Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 3 — Partie II (Q34 à Q38) : P(E) = 0 si et seulement si la série des 1/S_k diverge : produit infini et séries à termes positifs

Q34. Les $u_k$ sont des entiers naturels non nuls, donc $u_k\ge 1$ pour tout $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Par conséquent, pour tout $n\in \mathbb{N}$ (le cas $n=0$ est immédiat),

$$S_n=1+\sum _{k=1}^n{u}_k\ge 1+n.$$

Comme $1+n\to +\infty$, le théorème de minoration (comparaison) donne $S_n\to +\infty$. On note aussi que $(S_n)$ est croissante et que $S_n\ge 1>0$ pour tout $n$.

Ce que le correcteur attend : une minoration explicite par une suite qui tend vers $+\infty$ ; dire que « $\sum u_k$ diverge grossièrement » ne suffit pas tant qu'on n'a pas dit que ses termes sont positifs, ce qui fait tendre ses sommes partielles vers $+\infty$.

Q35. Pour $k\in \mathbb{N}$, posons $a_k=-\ln \frac{S_k}{S_k+1}=\ln (1+\frac{1}{S_k})$. Comme $\frac{1}{S_k}>0$, on a $a_k>0$ : la série $\sum a_k$ est à termes positifs, de même que $\sum \frac{1}{S_k}$.

Par Q34, $\frac{1}{S_k}\to 0$, et $\ln (1+y)\sim y$ quand $y\to 0$ ; donc

$$a_k=\ln (1+\frac{1}{S_k})\underset{k\to +\infty }{\sim }\frac{1}{S_k}.$$