Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 2 — Partie II (Q21 à Q25) : Polynômes de Hermite : formule de Rodrigues, base orthogonale, norme

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les polynômes de Hermite sont définis par $H_{0} = 1$ et $H_{n + 1} = 2 X H_{n} - H_{n}^{'}$ pour tout $n \in N$ . On note $f : x \mapsto e^{- x^{2}}$ , et $φ$ le produit scalaire de Q16 : $φ (P, Q) = \int_{- \infty}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t^{2}} d t$ .

Q21. Montrer que $H_{n}$ est de degré $n$ , de coefficient dominant $2^{n}$ .
Q22. Montrer que $f^{(n)} (x) = (- 1)^{n} H_{n} (x) f (x)$ pour tous $n \in N$ , $x \in R$ .
Q23. Soient $p \leq q$ deux entiers naturels. Montrer que, pour tout $k \in [[0, q]]$ , $φ (H_{p}, H_{q}) = (- 1)^{q - k} \int_{- \infty}^{+ \infty} H_{p}^{(k)} (t) f^{(q - k)} (t) d t$ .
Q24. Soit $d \in N$ . Montrer que $(H_{0}, \dots, H_{d})$ est une base orthogonale de $R_{d} [X]$ .
Q25. Calculer la norme de $H_{p}$ pour tout $p \in N$ .

Corrigé

Q21. Par récurrence sur $n \in N$ , montrons la propriété $P (n)$ : « $de g H_{n} = n$ et le coefficient dominant de $H_{n}$ est $2^{n}$ ».

Initialisation. $H_{0} = 1$ est de degré $0$ , de coefficient dominant $1 = 2^{0}$ .

Hérédité. Supposons $P (n)$ pour un $n \in N$ et écrivons $H_{n} = 2^{n} X^{n} + R_{n}$ avec $de g R_{n} < n$ (ou $R_{n} = 0$ ). Alors $2 X H_{n} = 2^{n + 1} X^{n + 1} + 2 X R_{n}$ , où $de g (2 X R_{n}) \leq n$ . D'autre part, $H_{n}^{'}$ est de degré $n - 1$ si $n \geq 1$ , et nul si $n = 0$ : dans les deux cas $de g H_{n}^{'} \leq n$ . Donc

$H_{n + 1} = 2 X H_{n} - H_{n}^{'} = 2^{n + 1} X^{n + 1} + (2 X R_{n} - H_{n}^{'}), de g (2 X R_{n} - H_{n}^{'}) \leq n,$

et $H_{n + 1}$ est de degré $n + 1$ , de coefficient dominant $2^{n + 1}$ : $P (n + 1)$ est vraie.

On obtient par exemple $H_{1} = 2 X$ , $H_{2} = 4 X^{2} - 2$ , $H_{3} = 8 X^{3} - 12 X$ .

Q22. La fonction $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ , et $f^{'} (x) = - 2 x f (x)$ . Récurrence sur $n$ .

Initialisation. $f^{(0)} = f = (- 1)^{0} H_{0} f$ .

Hérédité. Supposons $f^{(n)} = (- 1)^{n} H_{n} f$ sur $R$ . En dérivant ce produit,

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →