Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 3 — Partie I (Q31 à Q33) : Urne enrichie en boules blanches : continuité décroissante et probabilités composées

On fixe une suite $(u_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ d'entiers naturels non nuls. Une urne contient au départ une boule blanche et une boule rouge, indiscernables au toucher. À chaque tirage $k\ge 1$, on remet la boule tirée ; si elle est blanche, on ajoute en outre $u_k$ boules blanches. On note $B_n$ l'événement « le $n$-ième tirage donne une boule blanche », $E={\bigcap }_{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}{B}_n$, $S_0=1$ et $S_n=1+{\sum }_{k=1}^n{u}_k$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Enfin $p_n=P\left({\bigcap }_{k=1}^n{B}_k\right)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Q31. Montrer que $(p_n)$ est décroissante, convergente, et que $P(E)={\lim }_{n\to +\infty }{p}_n$.
Q32. Soit $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Si $B_1,\dots ,B_k$ sont réalisés, décrire la composition de l'urne avant le tirage $k+1$ en fonction de $S_k$ ; en déduire $P(B_{k+1}\mid B_1\cap \cdots \cap B_k)$.
Q33. Montrer que $p_n={\prod }_{k=0}^{n-1}\frac{S_k}{S_k+1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.