Corrigé CCINP 2025 Maths PC — Exercice 2 — Partie I (Q14 à Q20) : Le produit scalaire à poids gaussien sur R[X] et l'intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

I.1 — Un produit scalaire sur $R [X]$ .
Q14. Soit $n \in N$ . Montrer que $t \mapsto t^{n} e^{- t^{2}}$ est intégrable sur $[0, + \infty [$ , puis sur $R$ .
Q15. En déduire que $t \mapsto R (t) e^{- t^{2}}$ est intégrable sur $R$ pour tout $R \in R [X]$ .

On pose alors $φ (P, Q) = \int_{- \infty}^{+ \infty} P (t) Q (t) e^{- t^{2}} d t$ pour $P, Q \in R [X]$ .

Q16. Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $R [X]$ .

I.2 — Calcul de l'intégrale de Gauss. Pour $x \in R$ , on pose $u (x) = \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t$ et $v (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- (1 + t^{2}) x^{2}}}{1 + t ^{2}} d t$ .

Q17. Justifier que $u$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et calculer $u^{'}$ .
Q18. Justifier que $v$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et calculer $v^{'}$ .
Q19. Montrer que $x \mapsto u (x)^{2} + v (x)$ est constante sur $R$ , égale à $π /4$ .
Q20. En déduire que $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = π$ .

Corrigé

Q14. Notons $g_{n} (t) = t^{n} e^{- t^{2}}$ . La fonction $g_{n}$ est continue sur $R$ (produit de fonctions continues), donc continue par morceaux sur tout intervalle : seul le comportement aux bornes infinies est à étudier.

Sur $[0, + \infty [$ . La fonction $g_{n}$ y est positive. Par croissances comparées, $t^{2} g_{n} (t) = t^{n + 2} e^{- t^{2}} \to 0$ quand $t \to + \infty$ , donc $g_{n} (t) = o (1/ t^{2})$ en $+ \infty$ . Or $t \mapsto 1/ t^{2}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ (intégrale de Riemann d'exposant $2 > 1$ ). Par les règles de comparaison pour les fonctions positives, $g_{n}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ ; étant continue sur le segment $[0, 1]$ , elle y est intégrable. Donc $g_{n}$ est intégrable sur $[0, + \infty [$ .

Sur $R$ . Pour $t \leq 0$ , $∣ g_{n} (t) ∣ = ∣ t ∣^{n} e^{- t^{2}} = g_{n} (- t)$ . Par le changement de variable $s = - t$ (affine, de classe $C^{1}$ et bijectif de $] - \infty, 0]$ sur $[0, + \infty [$ ), l'intégrabilité de $∣ g_{n} ∣$ sur $] - \infty, 0]$ équivaut à celle de $g_{n}$ sur $[0, + \infty [$ , acquise. Donc $g_{n}$ est intégrable sur $] - \infty, 0]$ et sur $[0, + \infty [$ , c'est-à-dire sur $R$ .

Ce que le correcteur attend : la continuité (par morceaux) de la fonction d'abord, puis une étude aux deux bornes $- \infty$ et $+ \infty$ .

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