Corrigé CCINP 2025 Maths PSI — Exercice (Q1 à Q9) : Loi de Poisson : Bienaymé-Tchebychev puis une majoration exponentielle par la fonction génératrice

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $λ > 0$ et $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson $P (λ)$ ; on note $G_{X} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (X = n) t^{n}$ sa fonction génératrice.

Q1. Donner, sans démonstration, $E (X)$ et $V (X)$ .
Q2. Majorer $P (∣ X - λ ∣ \geq λ)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Q3. Justifier l'inclusion $(X \geq 2 λ) \subset (∣ X - λ ∣ \geq λ)$ .
Q4. En déduire la majoration (1) : $P (X \geq 2 λ) \leq \frac{1}{λ}$ .
Q5. Donner l'ensemble de définition de $G_{X}$ .
Q6. Montrer que $G_{X} (t) = e^{λ (t - 1)}$ pour tout réel $t$ .
Q7. Pour $t \geq 1$ et $α \in R$ , montrer que $P (X \geq α) \leq \frac{G _{X} ( t )}{t ^{α}}$ .
Q8. En déduire la majoration (2) : $P (X \geq 2 λ) \leq (\frac{e}{4})^{λ}$ .
Q9. Sachant que $e (ln 4 - 1) \geq 1, 05$ , laquelle des majorations (1) et (2) est la plus précise ?

Corrigé

Q1. Pour $X \sim P (λ)$ : $E (X) = λ$ et $V (X) = λ$ .

Q2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : si $Y$ est une variable aléatoire réelle discrète admettant un moment d'ordre $2$ , d'espérance $m$ , alors pour tout $ε > 0$ , $P (∣ Y - m ∣ \geq ε) \leq \frac{V ( Y )}{ε ^{2}}$ . La variable $X$ admet un moment d'ordre $2$ (Q1), d'espérance $λ$ ; avec $ε = λ > 0$ :

$P (∣ X - λ ∣ \geq λ) \leq \frac{V ( X )}{λ ^{2}} = \frac{λ}{λ ^{2}} = \frac{1}{λ} .$

Q3. Soit $ω \in (X \geq 2 λ)$ , c'est-à-dire $X (ω) \geq 2 λ$ . Alors $X (ω) - λ \geq λ > 0$ , donc $∣ X (ω) - λ ∣ = X (ω) - λ \geq λ$ : $ω \in (∣ X - λ ∣ \geq λ)$ . D'où $(X \geq 2 λ) \subset (∣ X - λ ∣ \geq λ)$ .

Ce que le correcteur attend : le sens de l'inclusion et l'argument de signe ( $X (ω) - λ$ est positif, donc égal à sa valeur absolue) ; l'inclusion réciproque est fausse, puisque $(∣ X - λ ∣ \geq λ)$ contient aussi $(X = 0)$ .

Q4. Par croissance de la probabilité pour l'inclusion (Q3), puis par Q2 :

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