Corrigé CCINP 2025 Maths PSI — Problème 1, Partie I (Q10 à Q12) : Coefficients de Fourier d'une dent de scie impaire et 2π-périodique

Q10. Soit $f$ continue par morceaux sur $[-\pi ,\pi ]$. Par la relation de Chasles, ${\int }_{-\pi }^{\pi }f={\int }_{-\pi }^{0}f+{\int }_0^{\pi }f$. Dans la première intégrale, effectuons le changement de variable affine $t=-u$ (bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $[0,\pi ]$ sur $[-\pi ,0]$, $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$) :

$${\int }_{-\pi }^{0}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{\pi }^{0}f(-u)(-\mathrm{d}u)={\int }_0^{\pi }f(-u)\mathrm{d}u.$$

Si $f$ est paire, $f(-u)=f(u)$, donc ${\int }_{-\pi }^{0}f={\int }_0^{\pi }f$ et ${\int }_{-\pi }^{\pi }f=2{\int }_0^{\pi }f$.
Si $f$ est impaire, $f(-u)=-f(u)$, donc ${\int }_{-\pi }^{0}f=-{\int }_0^{\pi }f$ et ${\int }_{-\pi }^{\pi }f=0$.

Q11. Analyse (unicité). Supposons $g$ impaire, $2\pi$-périodique, et égale à $\frac{\pi -x}{2}$ sur $]0,\pi ]$.

• En $0$ : $g(0)=g(-0)=-g(0)$, donc $g(0)=0$.
• Sur $[-\pi ,0[$ : si $x\in [-\pi ,0[$, alors $-x\in ]0,\pi ]$ et $g(x)=-g(-x)=-\frac{\pi -(-x)}{2}=-\frac{\pi +x}{2}$.
• Sur $\mathbb{R}$ : tout réel $x$ s'écrit de façon unique $x=y+2k\pi$ avec $y\in ]-\pi ,\pi ]$ et $k\in \mathbb{Z}$ (prendre $k=\lceil \frac{x-\pi }{2\pi }\rceil$), et $g(x)=g(y)$ par périodicité.