Corrigé CCINP 2025 Maths PSI — Problème 2, Partie I (Q21 à Q24) : Inégalité arithmético-géométrique par l'inégalité exp(x) ≥ 1 + x, cas d'égalité

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \geq 1$ et $(λ_{1}, \dots, λ_{n}) \in (R^{+})^{n}$ , non tous nuls (le cas où ils sont tous nuls est immédiat). On pose $A = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i}$ et $G = (\prod_{i = 1}^{n} λ_{i})^{1/ n}$ . But : $G \leq A$ , avec égalité si et seulement si $λ_{1} = \dots = λ_{n}$ .

Q21. Montrer que $exp (x) \geq 1 + x$ pour tout $x \in R$ , avec égalité si et seulement si $x = 0$ .
Q22. Montrer que $\frac{λ _{i}}{A} \leq exp (\frac{λ _{i}}{A} - 1)$ pour tout $i \in [[1, n]]$ .
Q23. En déduire que $G \leq A$ .
Q24. Montrer que $G = A$ si et seulement si $λ_{1} = λ_{2} = \dots = λ_{n}$ .

Corrigé

Q21. Soit $φ (x) = e^{x} - 1 - x$ , dérivable sur $R$ , avec $φ^{'} (x) = e^{x} - 1$ . Par stricte croissance de $exp$ , $φ^{'} (x) < 0$ pour $x < 0$ et $φ^{'} (x) > 0$ pour $x > 0$ : $φ$ est strictement décroissante sur $] - \infty, 0]$ et strictement croissante sur $[0, + \infty [$ , et $φ (0) = 0$ .

Si $x < 0$ , la stricte décroissance donne $φ (x) > φ (0) = 0$ .
Si $x > 0$ , la stricte croissance donne $φ (x) > φ (0) = 0$ .

Donc $φ \geq 0$ sur $R$ , c'est-à-dire $e^{x} \geq 1 + x$ , et $φ (x) = 0$ si et seulement si $x = 0$ : il y a égalité si et seulement si $x = 0$ .

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