Corrigé CCINP 2025 Maths PSI — Problème 2, Partie II (Q25 à Q33) : Inégalité de Hadamard par le théorème spectral et la normalisation de la diagonale

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Sur $M_{n, 1} (R)$ , $⟨ X, Y ⟩ = X^{⊤} Y$ est le produit scalaire canonique ; $S_{n}^{++} (R)$ désigne l'ensemble des matrices symétriques réelles définies positives. But : pour toute $M = (m_{i, j}) \in M_{n} (R)$ ,

$∣ det (M) ∣ \leq j = 1 \prod n (i = 1 \sum n m_{i, j}^{2})^{1/2} . (3)$

Dans Q25 à Q30, $S = (s_{i, j}) \in S_{n}^{++} (R)$ .

Q25. Justifier que $S$ est diagonalisable et relier $det (S)$ , puis $Tr (S)$ , à ses valeurs propres.
Q26. En déduire que $(det S)^{1/ n} \leq \frac{1}{n} Tr (S)$ .
Q27. Montrer qu'il y a égalité si et seulement si $S = λ I_{n}$ pour un $λ > 0$ .
Q28. Montrer que $s_{j, j} > 0$ pour tout $j$ .
Q29. Avec $D = diag (s_{1, 1}, \dots, s_{n, n})$ , montrer que $D^{- 1} S D^{- 1}$ a pour coefficients $\frac{s _{i, j}}{s _{i, i} s _{j, j}}$ ; en déduire qu'elle est symétrique définie positive, de diagonale égale à $1$ .
Q30. Montrer que $det (S) \leq \prod_{j = 1}^{n} s_{j, j}$ , avec égalité si et seulement si $S$ est diagonale.
Q31. Pour $M$ inversible, montrer que $M^{⊤} M \in S_{n}^{++} (R)$ .
Q32. Pour $M$ quelconque, de colonnes $C_{1}, \dots, C_{n}$ , montrer (3), avec égalité si et seulement si les $C_{j}$ sont deux à deux orthogonales.
Q33. Si $∣ m_{i, j} ∣ \leq 1$ pour tous $i, j$ , montrer que $∣ det M ∣ \leq n^{n /2}$ , avec égalité si et seulement si tous les $∣ m_{i, j} ∣$ valent $1$ et $M^{⊤} M = n I_{n}$ .

Corrigé

Q25. $S$ est une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, il existe $P \in O_{n} (R)$ et $Δ = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ réelle telles que $S = P Δ P^{⊤} = P Δ P^{- 1}$ : $S$ est diagonalisable dans $M_{n} (R)$ (et même dans une base orthonormée), et $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ sont ses valeurs propres comptées avec leur multiplicité. Le déterminant et la trace étant invariants par similitude,

$det (S) = det (Δ) = i = 1 \prod n λ_{i}, Tr (S) = Tr (Δ) = i = 1 \sum n λ_{i} .$

De plus, chaque $λ_{i}$ est strictement positive : si $S X = λ_{i} X$ avec $X \neq = 0$ , alors $0 < X^{⊤} S X = λ_{i} X^{⊤} X = λ_{i} ∥ X ∥^{2}$ , donc $λ_{i} > 0$ .

Ce que le correcteur attend : la multiplicité des valeurs propres dans le produit et la somme (une valeur propre double compte deux fois).

Q26. Les valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ de $S$ sont dans $R^{+}$ et non toutes nulles (elles sont strictement positives, Q25). Q23 s'applique :

$(det S)^{1/ n} = (i = 1 \prod n λ_{i})^{1/ n} \leq \frac{1}{n} i = 1 \sum n λ_{i} = \frac{1}{n} Tr (S) .$

(Comme $det S > 0$ , la puissance $\frac{1}{n}$ a bien un sens.)

Q27. Si $S = λ I_{n}$ avec $λ > 0$ , alors $(det S)^{1/ n} = (λ^{n})^{1/ n} = λ = \frac{nλ}{n} = \frac{1}{n} Tr (S)$ .

Réciproquement, supposons l'égalité. D'après Q24 (cas d'égalité de l'inégalité arithmético-géométrique), $λ_{1} = \dots = λ_{n}$ ; notons $λ$ leur valeur commune, $λ > 0$ par Q25. Alors $Δ = λ I_{n}$ et $S = P (λ I_{n}) P^{- 1} = λ P P^{- 1} = λ I_{n}$ .

Ce que le correcteur attend : les deux sens, et l'usage de la diagonalisation pour passer de « valeurs propres toutes égales » à « $S = λ I_{n}$ » (faux pour une matrice non diagonalisable).

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