Corrigé CCINP 2025 Maths PSI — Problème 2, Partie III (Q34 à Q38) : Matrices de Hadamard : construction en puissances de 2, ordre multiple de 4

${\mathcal{H}}_n$ est l'ensemble des $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ telles que $M^{\top }M=n{I}_n$ et $|m_{i,j}|=1$ pour tous $i,j$ (par exemple $N=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\in {\mathcal{H}}_2$) ; $H$ est l'ensemble des $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que ${\mathcal{H}}_n\ne \varnothing$. On admet que si ${\mathcal{H}}_n\ne \varnothing$, il contient une matrice dont la première ligne et la première colonne ne contiennent que des $1$. Soit $n\in H$ et $M\in {\mathcal{H}}_n$.

Q34. Montrer que $M$ est inversible, calculer $M^{-1}$ ; a-t-on $M^{-1}\in {\mathcal{H}}_n$ ?
Q35. Montrer que la matrice par blocs $\left(\begin{array}{cc}M& M\\ M& -M\end{array}\right)$ est dans ${\mathcal{H}}_{2n}$ ; en déduire que $2^p\in H$ pour tout $p\in \mathbb{N}$.
Désormais $n>2$ et la première ligne et la première colonne de $M$ ne contiennent que des $1$ ; $C_1,\dots ,C_n$ sont les colonnes de $M$.
Q36. En considérant $⟨C_1,C_2⟩$, montrer que $n$ est pair.
Q37. On note $x$, $y$, $z$, $t$ les nombres d'indices $i$ tels que $(m_{i,2},m_{i,3})$ vaut respectivement $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$. Exprimer $⟨C_1,C_2⟩$, $⟨C_1,C_3⟩$, $⟨C_2,C_3⟩$ en fonction de $x,y,z,t$, et en déduire un système linéaire de quatre équations.
Q38. En déduire que $n$ est multiple de $4$.