Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie I (Q1 à Q6) : Batterie lithium-ion : capacité, nombre de cellules, chute de tension et courbes intensité-potentiel

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le Mobilikit se fixe sous les quatre pieds d'une chaise : il la déplace et la soulève, avec son marchepied, grâce à un vérin électrique (figure 1 : photographie ; figure 2 : vue éclatée, non reproduites). Il embarque une batterie lithium-ion de capacité $C = 9, 0 A \cdot h$ , de tension nominale $U = 25 V$ et d'énergie $E = 225 W \cdot h$ , formée de $N$ cellules LIR18650 en série. Le cahier des charges limite la chute de tension à $5%$ .

Figure 3 — Tension aux bornes d'une cellule LIR18650 pendant la décharge, à courant constant (indiqué sur chaque courbe), à $2 5^{\circ} C$ .

Q1. Vérifier la cohérence de $C$ , $U$ et $E$ ; trouver $N$ pour obtenir $U$ à $50%$ de décharge sous $2, 6 A$ .
Q2. L'appareil roule au plus à $V_{ma x} = 4, 0 km \cdot h^{- 1}$ sur au plus $d_{ma x} = 12 km$ : calculer la durée $Δ t$ de ce trajet et le courant $i$ débité, batterie pleine au départ.
Q3. Batterie pleine, ordre de grandeur de la variation de sa tension quand le courant passe de $0, 5 A$ à $7, 6 A$ ; montrer qu'elle dépasse $5%$ .

La batterie réelle comporte en fait 4 lignes parallèles de $N$ cellules, ce qui divise par 4 le courant de chaque cellule. Lors de la décharge, la cathode (potentiel $E_{1}$ ) met en jeu le couple $Li X^{+} / LiFePO X_{4}$ (s) et l'anode (potentiel $E_{2}$ ) le couple $Li X^{+} / LiC X_{6}$ (s). À courant nul, $E_{1, e q} = E_{1}^{\circ} + k lo g a_{1}$ et $E_{2, e q} = E_{2}^{\circ} + k lo g a_{2}$ , où $a_{1}$ et $a_{2}$ sont les activités de $Li X^{+}$ dans les compartiments cathodique et anodique et $k > 0$ .

Q4. Justifier que $E_{1} > E_{2}$ .
Q5. Comment évoluent les concentrations en $Li X^{+}$ à chaque électrode, puis $E_{1, e q}$ et $E_{2, e q}$ , pendant la décharge ? Interpréter l'allure des courbes de la figure 3 à courant fixé.
Q6. Tracer l'allure des courbes intensité-potentiel des deux électrodes (espèces indiquées), avec $E_{1, e q} = 0, 6 V$ , $E_{2, e q} = - 2, 9 V$ , couples rapides, paliers de diffusion non atteints. Placer un point de fonctionnement pour un courant $i_{0} \neq = 0$ ; comment varie la force électromotrice $E_{1} - E_{2}$ quand $i_{0}$ augmente ? Lien avec la figure 3.

Corrigé

Q1. Cohérence. La capacité $C$ est une charge électrique (et non la capacité d'un condensateur) : $1 A \cdot h = 3600 C$ . Une batterie qui débite la charge $C$ sous la tension (supposée constante) $U$ fournit l'énergie $W = C U$ :

$C U = 9, 0 A \cdot h \times 25 V = 225 W \cdot h = E .$

Les trois données sont cohérentes ( $E = 225 W \cdot h = 8, 1 \times 1 0^{5} J$ ).

Nombre de cellules. Sur la figure 3, la courbe $2, 6 A$ passe, à $50%$ de décharge, par $u_{ce l l} \approx 3, 6 V$ . Les tensions de cellules en série s'ajoutent : $N u_{ce l l} = U$ , soit

$N = \frac{U}{u _{ce l l}} = \frac{25}{3 , 6} \approx 6, 9 ⟹ N = 7 cellules en s e ˊ rie$

( $7 \times 3, 6 = 25, 2 V$ ) : c'est une batterie « 7S », sept cellules en série, de tension nominale voisine de $25 V$ .

Q2. À vitesse constante $V_{ma x}$ , la distance $d_{ma x}$ est parcourue en

$Δ t = \frac{d _{ma x}}{V _{ma x}} = \frac{12 km}{4 , 0 km \cdot h ^{- 1}} = 3, 0 h .$

La batterie, pleine au départ, débite toute sa charge $C$ en $Δ t$ (c'est la définition de la distance maximale) ; à courant constant, $C = i Δ t$ , d'où

$i = \frac{C}{Δ t} = \frac{9 , 0 A \cdot h}{3 , 0 h} = 3, 0 A .$

La puissance moyenne correspondante vaut $U i \approx 75 W$ .

Q3. Batterie pleine signifie taux de décharge nul : on lit le départ des courbes de la figure 3. Pour une cellule, $u_{ce l l} \approx 4, 15 V$ sous $0, 5 A$ et $u_{ce l l} \approx 3, 7 V$ sous $7, 6 A$ (la courbe chute très vite dès les premiers pourcents) : $Δ u_{ce l l} \approx 0, 4$ à $0, 5 V$ . Avec une seule ligne de $N = 7$ cellules en série, chaque cellule débite le courant de la batterie et

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