Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie III (Q11 à Q16) : Moteur à courant continu du vérin : rendement, vis-écrou, identification de R et Phi par Monte-Carlo

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Le vérin électrique (modèle RE1004-Strong3) associe un moteur à courant continu, un réducteur de rapport $r = Ω_{2} / Ω_{1} = 1/10$ et un système vis-écrou de pas $p = 3, 0 mm$ qui translate la tige à la vitesse $v$ (figure 5). On note $I$ le courant du moteur, $Φ$ sa constante de couplage électromécanique, $R$ la résistance de son induit. Essais en régime permanent sous $U = 24 V$ (figure 6), $F_{v er in}$ étant la force exercée par la tige.

Figure 5 — Schéma fonctionnel du vérin électrique.

Figure 6 — Vitesse $v$ de la tige et courant $I$ absorbé en fonction de $F_{v er in}$ (barres : incertitudes-types).

Q11. Définir le rendement global $η_{g}$ du vérin en fonction de $U$ , $I$ , $F_{v er in}$ et $v$ .
Q12. Exprimer la constante $μ$ telle que $Ω_{1} = μ v$ en fonction de $p$ et $r$ .
Q13. Donner le schéma électrique équivalent du moteur en régime permanent (force contre-électromotrice $E^{'}$ ), son équation électrique, puis établir $Ω_{1} = \frac{U}{Φ} - \frac{R}{Φ} I$ .

Le programme Python de l'annexe 1 contient les mesures de la figure 6 (valeurs à $750 N$ masquées), les incertitudes-types $u (v) = 0, 1 mm \cdot s^{- 1}$ et $u (I) = 10 mA$ , et calcule $Ω_{1} = μv$ et $u (Ω_{1}) = μ u (v)$ (ligne de $μ$ masquée). Sa fonction f(x, y, ux, uy, N) renvoie la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ de la régression linéaire de $y$ en fonction de $x$ , puis refait $N$ fois la régression sur des données bruitées par des tirages gaussiens centrés d'écarts-types $ux$ et $u y$ , et renvoie les écarts-types $u (a)$ et $u (b)$ des résultats simulés. L'annexe 2 donne, pour un produit ou un quotient de $a$ et $b$ , l'incertitude relative $(u (a) / a)^{2} + (u (b) / b)^{2}$ . La régression de $Ω_{1}$ en fonction de $I$ (figure 7) passe par toutes les barres.

Figure 7 — Vitesse angulaire du moteur en fonction du courant absorbé.

Q14. Expliquer le principe de la méthode qui donne $u (a)$ et $u (b)$ dans f ; quel est son nom ?
Q15. Compléter le programme pour calculer $R$ , $Φ$ , $u (R)$ et $u (Φ)$ , avec un appel de f ( $N = 10000$ ) et l'annexe 2 ; $u (U)$ est négligeable.
Q16. Le programme affiche $R = 9, 332291 \dots$ , $u (R) = 0, 477044 \dots$ , $Φ = 0, 157339 \dots$ , $u (Φ) = 0, 001985 \dots$ : écrire les résultats avec leurs unités, les incertitudes-types à un chiffre significatif.

Corrigé

Q11. Le rendement est le rapport de la puissance utile (mécanique, fournie par la tige à la charge) à la puissance absorbée (électrique, fournie par la source de tension continue $U$ qui débite $I$ ) :

$η_{g} = \frac{P _{u t i l e}}{P _{absorb e ˊ e}} = \frac{F _{v er in} v}{U I} .$

Il est sans dimension et compris entre $0$ et $1$ . Par exemple à $F_{v er in} = 1000 N$ : $η_{g} = \frac{1 000 \times 4 , 7 \times 1 0 ^{- 3}}{24 \times 0 , 88} \approx 0, 22$ ; à vide ( $F_{v er in} = 0$ ), $η_{g} = 0$ alors que le moteur absorbe $24 \times 0, 14 \approx 3, 4 W$ .

Q12. Le réducteur impose $Ω_{2} = r Ω_{1}$ . Le système vis-écrou fait avancer l'écrou (lié à la tige) d'un pas $p$ par tour de vis : pendant $d t$ , la vis tourne de $Ω_{2} d t$ et la tige avance de $d x = p \frac{Ω _{2} d t}{2 π}$ , soit $v = \frac{p}{2 π} Ω_{2}$ . D'où

$Ω_{1} = \frac{Ω _{2}}{r} = \frac{2 π}{r p} v, μ = \frac{2 π}{r p} = \frac{2 π}{0 , 1 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 2, 09 \times 1 0^{4} rad \cdot m^{- 1} .$

Contrôle : pour $v = 6, 8 mm \cdot s^{- 1}$ , $Ω_{1} \approx 142 rad \cdot s^{- 1}$ ( $1360 tr \cdot mi n^{- 1}$ ), c'est bien le premier point de la figure 7. Ce que le correcteur attend : le facteur $2 π$ (le pas est une longueur par tour) et le rapport $r = Ω_{2} / Ω_{1} < 1$ au dénominateur.

Q13. En régime permanent, le courant est constant : la tension $L d I / d t$ aux bornes de l'inductance de l'induit est nulle. L'induit se réduit à sa résistance $R$ en série avec la force contre-électromotrice $E^{'} = Φ Ω_{1}$ (convention récepteur) :

La loi des mailles donne l'équation électrique du moteur, et la loi de la force contre-électromotrice $E^{'} = Φ Ω_{1}$ permet de conclure :

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