Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie IV (Q21 à Q25) : Cinématique du levage : fermeture géométrique, parallélogramme et linéarisation de la hauteur

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On veut relier la translation $λ$ du vérin à la hauteur $h$ du marchepied (figure 10). Solides :

$S_{0}$ , bâti fixe, repère $R_{0} (O, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , $O$ au sol ;
$S_{1}$ , tige du vérin, en pivot d'axe $(A, z_{0})$ avec $S_{0}$ , $O A = h_{0} y_{0}$ , repère $R_{1} (A, x_{1}, y_{1}, z_{0})$ , $θ_{01} = (x_{0}, x_{1})$ ;
$S_{2}$ , corps du vérin, en translation de direction $x_{1}$ par rapport à $S_{1}$ , $A B = λ (t) x_{1}$ ;
$S_{3}$ , en pivot d'axe $(C, z_{0})$ avec $S_{0}$ , $A C = C_{x} x_{0}$ , $B C = - B_{x} x_{3}$ , $θ_{03} = (x_{0}, x_{3})$ ;
$S_{4}$ , en pivot d'axe $(D, z_{0})$ avec $S_{0}$ , $A D = D_{x} x_{0} - D_{y} y_{0}$ , $D E = B_{x} x_{3}$ ;
$S_{5}$ , marchepied, articulé sur $S_{3}$ en $B$ et sur $S_{4}$ en $E$ , repère $R_{5} (E, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ; $h$ est la composante sur $y_{0}$ de $O H$ , $H \in S_{5}$ . Pour $λ = λ_{0}$ , $h = 0$ et $θ_{03} = 0$ .

Figure 10 — Schéma cinématique de l'ensemble de levage du marchepied et du siège (non à l'échelle).

Q21. Par une fermeture géométrique projetée sur $x_{0}$ et $y_{0}$ , relier $λ$ à $θ_{03}$ .
Q22. En déduire $θ_{03}$ en fonction de $λ$ .
Q23. Quel est le mouvement du marchepied $5/0$ ? Justifier.
Q24. Sachant que $h = B_{x} sin θ_{03}$ , relier $h$ à $λ$ . Cette relation est-elle linéaire ?

Figure 11 — Simulation numérique de la hauteur du marchepied en fonction de $λ$ .

Q25. En pratique $λ$ varie de $424 mm$ à $437, 5 mm$ . D'après la figure 11, sur quelle plage de $λ$ peut-on linéariser ? Donner le coefficient de linéarité.

Corrigé

Q21. La chaîne $S_{0}$ – $S_{1}$ – $S_{2}$ – $S_{3}$ – $S_{0}$ forme une boucle fermée passant par $A$ , $B$ , $C$ . Fermeture géométrique : $A B + B C + C A = 0$ , soit

$λ x_{1} - B_{x} x_{3} - C_{x} x_{0} = 0 .$

Avec $x_{1} = cos θ_{01} x_{0} + sin θ_{01} y_{0}$ et $x_{3} = cos θ_{03} x_{0} + sin θ_{03} y_{0}$ , les projections donnent

$λ cos θ_{01} = C_{x} + B_{x} cos θ_{03}, λ sin θ_{01} = B_{x} sin θ_{03} .$

On élimine l'angle $θ_{01}$ du vérin, qui n'intéresse pas ici, en sommant les carrés :

$λ^{2} = (C_{x} + B_{x} cos θ_{03})^{2} + B_{x}^{2} sin^{2} θ_{03} = C_{x}^{2} + B_{x}^{2} + 2 B_{x} C_{x} cos θ_{03} .$

C'est la loi des cosinus (« théorème d'Al-Kashi ») dans le triangle $A B C$ . Contrôle : pour $θ_{03} = 0$ , $λ_{0} = C_{x} + B_{x}$ , les trois points sont alignés.

Q22. On isole le cosinus :

$cos θ_{03} = \frac{λ ^{2} - C _{x}^{2} - B _{x}^{2}}{2 B _{x} C _{x}} ⟹ θ_{03} = arccos (\frac{λ ^{2} - C _{x}^{2} - B _{x}^{2}}{2 B _{x} C _{x}}) .$

La valeur principale de l'arc cosinus, dans $[0, π]$ , est la bonne : $B$ est au-dessus de l'axe $(A, x_{0})$ , donc $sin θ_{03} = λ sin θ_{01} / B_{x} \geq 0$ . Quand $λ$ augmente, $cos θ_{03}$ augmente et $θ_{03}$ diminue. Ce que le correcteur attend : $θ_{03} = f (λ)$ , sans $θ_{01}$ .

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