Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie VI (Q29 à Q30) : Profil de vitesse trapézoïdal et temps de levage

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les constituants étant validés, on modélise la vitesse de montée et de descente de l'ensemble marchepied et pieds de chaise, dont la course en hauteur est de $35 mm$ . Extrait du cahier des charges :

exigence	critère	niveau
3.1.1	hauteur de levage	$h = 35 mm$
3.1.2	temps de levage	$t_{R} = 3 s$
3.1.3	accélération maximale de levage	$a_{ma x} = 0, 5 m \cdot s^{- 2}$

Table 1 — Diagramme partiel des exigences associées au levage.

D'après la relation entre hauteur et sortie de tige et la vitesse maximale de sortie de tige (figure 6), l'énoncé indique une vitesse maximale de levage $V_{ma x} = 6, 8 mm \cdot s^{- 1}$ pour le marchepied et $V h_{ma x} = 18 mm \cdot s^{- 1}$ pour le siège. Le concepteur choisit le profil trapézoïdal de la figure 12, avec des durées d'accélération et de décélération égales, à accélération maximale.

Figure 12 — Vitesse verticale du marchepied et du siège.

Q29. Déterminer les durées $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ qui satisfont l'exigence 3.1.3 pour le levage du fauteuil, en fonction de $V_{ma x}$ , $a_{ma x}$ et $h$ , puis numériquement.
Q30. Déterminer le temps total de levage $t_{R}$ et conclure vis-à-vis de l'exigence 3.1.2.

Corrigé

Q29. Sur la figure 12, $t_{1}$ , $t_{2}$ et $t_{3}$ sont les durées des trois phases (accélération, vitesse constante, décélération). Pendant les phases de rampe, l'accélération vaut $V_{ma x} / t_{1}$ et $- V_{ma x} / t_{3}$ ; l'exigence 3.1.3 impose $V_{ma x} / t_{1} \leq a_{ma x}$ . Pour lever le plus vite possible, on accélère et on décélère au maximum autorisé :

$t_{1} = t_{3} = \frac{V _{ma x}}{a _{ma x}} .$

La hauteur parcourue est l'aire sous la courbe de vitesse (deux triangles et un rectangle) :

$h = \frac{1}{2} V_{ma x} t_{1} + V_{ma x} t_{2} + \frac{1}{2} V_{ma x} t_{3} = V_{ma x} (t_{1} + t_{2}) ⟹ t_{2} = \frac{h}{V _{ma x}} - \frac{V _{ma x}}{a _{ma x}} .$

Ce profil trapézoïdal n'existe que si $t_{2} \geq 0$ , soit $h \geq V_{ma x}^{2} / a_{ma x}$ ; sinon le profil est triangulaire et $V_{ma x}$ n'est jamais atteinte.

Application numérique. La hauteur $h$ est un déplacement vertical : il faut la vitesse verticale de levage du fauteuil, $V_{ma x} = V h_{ma x} = 18 mm \cdot s^{- 1} = 1, 8 \times 1 0^{- 2} m \cdot s^{- 1}$ . On vérifie d'abord $V_{ma x}^{2} / a_{ma x} = \frac{( 1 , 8 \times 1 0 ^{- 2} ) ^{2}}{0 , 5} \approx 6, 5 \times 1 0^{- 4} m = 0, 65 mm ≪ 35 mm$ : le profil est bien trapézoïdal.

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