Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie VII (Q31 à Q34) : Boucle de vitesse continue : retour unitaire, fonction de transfert en boucle fermée

La consigne de vitesse étant connue (partie VI), on définit la commande de vitesse qui doit respecter les exigences suivantes :

La commande du moteur est implantée dans un calculateur numérique ; on veut vérifier que les modèles continu et numérique de la commande sont équivalents. Structure de la boucle de vitesse : figure 13, où $K_{cap}$ est le gain du capteur de vitesse, $K_{CAN}$ et $K_{CNA}$ ceux des convertisseurs analogique-numérique et numérique-analogique, $K_p$ le correcteur proportionnel. Le système \{hacheur + vérin\}, de tension de commande $U(p)$, est modélisé par le premier ordre $\frac{V(p)}{U(p)}=\frac{K}{1+\tau p}$ (figure 14).

Figure 13 — Schéma-bloc de la boucle de vitesse avec commande continue.

Q31. Transformer le schéma-bloc en un schéma à retour unitaire.
Q32. Déterminer sous forme littérale et canonique la fonction de transfert en boucle fermée $V(p)/V_{ref}(p)$.
Q33. En déduire le gain statique $K_F$ et la constante de temps ${\tau }_F$ du système bouclé continu.
Q34. À partir de $V(p)/U(p)$ (figure 14), écrire l'équation différentielle du premier ordre vérifiée par $v(t)$.