Corrigé CCINP 2025 Modélisation PSI — Partie VII (Q35 à Q42) : Commande numérique : équation de récurrence, stabilité, gain statique et réglage du correcteur

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Modélisation PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend la boucle de vitesse de la figure 13 (exigences : temps de réponse à $5%$ inférieur à $100 ms$ , erreur statique inférieure à $2%$ ) et le modèle $τ v ˙ + v = K u$ du système \{hacheur + vérin\}. Signaux d'une commande numérique : figure 15.

Figure 15 — Différents types de signaux.

Le bloqueur d'ordre zéro (BOZ) maintient la commande $u (k T_{e}) = u_{k}$ constante pendant une période d'échantillonnage $T_{e}$ ; on note $v_{k} = v (k T_{e})$ .

Q35. La solution de l'équation différentielle (temps $t$ compté à partir de $k T_{e}$ ) est $v (t) = K u_{k} (1 - e^{- t / τ}) + v_{k} e^{- t / τ}$ . L'écrire en $k T_{e}$ et en $(k + 1) T_{e}$ , en déduire la récurrence en boucle ouverte $v ((k + 1) T_{e}) + A v (k T_{e}) = B u (k T_{e})$ et expliciter $A$ et $B$ .

Dans la suite, $A = - e^{- T_{e} / τ}$ et $B = K (1 - e^{- T_{e} / τ})$ . Boucle numérique : figure 16.

Figure 16 — Schéma-bloc de la boucle de vitesse avec commande numérique.

Q36. Montrer que la boucle fermée vérifie $v ((k + 1) T_{e}) + A_{f} v (k T_{e}) = B_{f} v_{r e f} (k T_{e})$ avec $A_{f} = A + B K_{p} K_{C N A} K_{c a p} K_{C A N}$ et $B_{f} = B K_{p} K_{C N A} K_{c a p} K_{C A N}$ .

Hypothèses : $v (0) = v_{0}$ ; échelon $v_{r e f} (k T_{e}) = v_{co n s}$ pour $k \geq 0$ ; la solution est la somme d'un régime transitoire $K (- A_{f})^{k}$ ( $K$ constante fixée par la condition initiale) et du régime permanent obtenu, s'il y a convergence, avec $v ((k + 1) T_{e}) = v (k T_{e})$ .

Q37. Exprimer $v (k T_{e})$ en fonction de $k$ , $v_{0}$ , $A_{f}$ , $B_{f}$ et $v_{co n s}$ , sous la forme régime transitoire + régime permanent.
Q38. Donner la condition nécessaire et suffisante de convergence, donc de stabilité.
Q39. Déterminer le gain statique du système bouclé numérique. Est-il identique à celui du modèle continu ?

On considère désormais que les deux modèles coïncident. La figure 17 simule la boucle continue pour $K_{p} = 1$ et une consigne $V_{co n s} = V_{ma x}$ .

Figure 17 — Simulation de la boucle de vitesse (graduations verticales de $0, 1 V_{ma x}$ ).

Q40. Lire sur la figure 17 le gain statique et la constante de temps.
Q41. En déduire le gain $K_{p}$ qui valide l'exigence de précision.
Q42. Ce système satisfait-il les exigences de positionnement de l'usager ?

Corrigé

Q35. Sur $[k T_{e}, (k + 1) T_{e} [$ , le BOZ impose $u = u_{k}$ constante : l'équation $τ v ˙ + v = K u_{k}$ (Q34) a pour solution, avec $t$ compté à partir de $k T_{e}$ , $v (t) = K u_{k} (1 - e^{- t / τ}) + v_{k} e^{- t / τ}$ .

En $t = 0$ (instant $k T_{e}$ ) : $v = K u_{k} \times 0 + v_{k} \times 1 = v_{k}$ , la continuité de la vitesse est bien respectée (c'est ce qui fixe la constante devant $e^{- t / τ}$ ).
En $t = T_{e}$ (instant $(k + 1) T_{e}$ ) : $v_{k + 1} = K u_{k} (1 - e^{- T_{e} / τ}) + v_{k} e^{- T_{e} / τ}$ .

D'où la récurrence en boucle ouverte :

$v ((k + 1) T_{e}) - e^{- T_{e} / τ} v (k T_{e}) = K (1 - e^{- T_{e} / τ}) u (k T_{e}),$

$A = - e^{- T_{e} / τ}, B = K (1 - e^{- T_{e} / τ}) .$

$A$ et $B$ dépendent de $K$ , de $τ$ et de la période $T_{e}$ . Cette récurrence est exacte aux instants d'échantillonnage, grâce au BOZ (commande constante sur chaque période). Pour $T_{e} ≪ τ$ , $A \approx - (1 - T_{e} / τ)$ et $B \approx K T_{e} / τ$ : on retrouve le schéma d'Euler explicite $v_{k + 1} = v_{k} + \frac{T _{e}}{τ} (K u_{k} - v_{k})$ .

Q36. Sur la figure 16, le correcteur numérique calcule

$u (k T_{e}) = K_{p} K_{C N A} (K_{c a p} K_{C A N} v_{r e f} (k T_{e}) - K_{C A N} K_{c a p} v (k T_{e})) .$

En reportant dans la récurrence de Q35 :

$v ((k + 1) T_{e}) + A v (k T_{e}) = B K_{p} K_{C N A} K_{c a p} K_{C A N} (v_{r e f} (k T_{e}) - v (k T_{e})),$

soit, en regroupant les termes en $v (k T_{e})$ :

$v ((k + 1) T_{e}) + A_{f} v (k T_{e}) = B_{f} v_{r e f} (k T_{e}),$

$A_{f} = A + B K_{p} K_{C N A} K_{c a p} K_{C A N}, B_{f} = B K_{p} K_{C N A} K_{c a p} K_{C A N} .$

On note pour la suite $K_{B O} = K_{p} K_{C N A} K K_{c a p} K_{C A N}$ (Q31) et $a = T_{e} / τ$ : $B_{f} = (1 - e^{- a}) K_{B O}$ et $A_{f} = - e^{- a} + (1 - e^{- a}) K_{B O}$ .

Q37. Régime permanent. S'il y a convergence vers $v_{\infty}$ , la récurrence avec $v ((k + 1) T_{e}) = v (k T_{e}) = v_{\infty}$ et $v_{r e f} = v_{co n s}$ donne

$(1 + A_{f}) v_{\infty} = B_{f} v_{co n s} ⟹ v_{\infty} = \frac{B _{f}}{1 + A _{f}} v_{co n s} .$

Régime transitoire. La suite $w_{k} = v (k T_{e}) - v_{\infty}$ vérifie la récurrence sans second membre $w_{k + 1} = - A_{f} w_{k}$ , d'où $w_{k} = K (- A_{f})^{k}$ , et la condition initiale $v (0) = v_{0}$ donne $K = v_{0} - v_{\infty}$ . Finalement :

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