Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie I.1 (Q1 à Q8) : Ratio de franchissement : statique et dynamique de la roue, robot B2P2 à géométrie variable

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Robot à chenilles B2P2 : châssis propulsif à deux essieux, partie avant inclinable (angle $θ$ par rapport au châssis), partie translatable portant le troisième essieu. Exigences (annexe 1) :

Le ratio de franchissement est le rapport de la hauteur du plus haut obstacle franchissable au diamètre $D$ de la roue (ou de la poulie). Tableau 1 :

Robot	$v_{m a x}$ ( $m/s$ )	masse ( $kg$ )	$D$ ( $cm$ )	marche ( $cm$ )	ratio
ATRV-JR	$1$	$50$	$30$	$15$	$0, 5$
TALON-HAZMAT	$1, 8$	$22$ à $64$	$30$	$15$	$0, 5$
ROBUROC6	$3, 6$	$160$	$45$	$40$	$0, 88$
B2P2 (VGTV)	$1, 5$	$8$	$12$	$35$	$2, 5$

Roue seule (Figure 3) : roue de masse $M$ , rayon $R$ , centre de gravité $G$ ; force motrice $F x_{0}$ appliquée en $G$ , poids $- M g y_{0}$ ; contacts en $A$ (sol) et en $I$ (arête de la marche de hauteur $h$ , $0 \leq h \leq R$ ), sans glissement en $I$ . Action du sol en $I$ : ${X_{I} x_{0} + Y_{I} y_{0} 0}_{I}$ .

Statique (quasi-statique, au décollement en $A$ ) : $F = F_{S}$ . Dynamique (basculement autour de $I$ à l'instant $t_{i}$ ) : $a_{G} \approx x ¨ (t) x_{0}$ , $Ω_{roue /0} = Ω (t) z_{0}$ , moment d'inertie $J$ autour de $(G, z_{0})$ ; $F = F_{D}$ .

Robot B2P2 (Figure 4) : partie avant de longueur $L$ inclinée de $θ$ , poulies de rayon $R$ .

Relevé de l'angle $θ$ (entre châssis et partie avant) pendant le franchissement d'une marche (la photographie jointe montre la situation initiale, partie avant relevée) :

Q7 : quatre photographies du DR (marche de $22 cm$ ) : en haut à gauche, robot au pied de la marche, partie avant relevée ; en bas à gauche, partie avant posée sur la marche ; en haut à droite, partie avant rabattue, châssis soulevé ; en bas à droite, idem, robot plus engagé.

Q1. Quel théorème appliquer à la roue pour obtenir $F_{S}$ sans les actions en $I$ ?
Q2. Exprimer $F_{S}$ en fonction de $M$ , $g$ , $h$ et $R$ .
Q3. $F_{S}$ pour $h = R$ et $h = 0$ ; pourquoi le ratio d'un robot classique vaut-il $0, 5$ ?
Q4. Écrire $F_{D} = F_{S} + Δ F$ et exprimer $Δ F$ en fonction de $J$ , $Ω ˙ (t_{i})$ , $M$ , $x ¨ (t_{i})$ , $R$ et $h$ .
Q5. Signes de $x ¨ (t_{i})$ et $Ω ˙ (t_{i})$ au contact ; comparer $F_{S}$ et $F_{D}$ .
Q6. Plage de variation de $θ$ (Figure 5) ; compatibilité avec le cahier des charges.
Q7. Numéroter dans l'ordre les quatre photographies (étapes 1 à 4).
Q8. Exprimer le ratio de B2P2 en fonction de $R$ , $L$ , $θ$ ; ordre de grandeur pour $θ = θ_{m a x}$ ; vérifier l'exigence 1.2.1.

Corrigé

Q1. On isole la roue. Elle subit trois actions mécaniques extérieures : le poids (en $G$ ), la force motrice (en $G$ ) et l'action du sol, en $A$ et en $I$ . Au moment du décollement, le contact en $A$ est rompu : l'action en $A$ est nulle. L'évolution étant quasi-statique, on applique le principe fondamental de la statique, et plus précisément le théorème du moment statique au point $I$ , en projection sur $z_{0}$ : l'action du sol en $I$ y a un moment nul (glisseur passant par $I$ ), ce qui élimine les inconnues $X_{I}$ et $Y_{I}$ .

Ce que le correcteur attend : le nom exact du théorème (« théorème du moment statique », partie du PFS), le point ( $I$ ) et la direction de projection ( $z_{0}$ ) ; « théorème du PFD » ou « théorème de l'énergie » ne conviennent pas.

Q2. Géométrie. $G I = R$ , $G$ est à la hauteur $R$ et $I$ à la hauteur $h$ ; la distance horizontale de $I$ à la verticale de $G$ est donc $λ = R^{2} - (R - h)^{2} = h (2 R - h)$ , et $I G = - λ x_{0} + (R - h) y_{0}$ .

Moments en $I$ .

$M (I, F) = I G \land F x_{0} = (R - h) F (y_{0} \land x_{0}) = - (R - h) F z_{0},$

$M (I, P) = I G \land (- M g y_{0}) = λ M g z_{0} .$

Le moment en $I$ de l'action du sol en $I$ est nul, celui de l'action en $A$ aussi (elle est nulle). Le théorème du moment statique en $I$ sur $z_{0}$ donne $- (R - h) F_{S} + λ M g = 0$ , soit

$F_{S} = M g \frac{λ}{R - h} = M g \frac{h ( 2 R - h )}{R - h} (0 \leq h < R) .$

Contrôle : $F_{S}$ est homogène à une force ( $M g$ multiplié par un rapport de longueurs) et positive (il faut pousser vers l'obstacle).

Q3. Pour $h = 0$ : $F_{S} = 0$ (pas d'obstacle, une force infinitésimale suffit à rouler). Pour $h \to R$ : $λ \to R$ et $R - h \to 0$ , donc $F_{S} \to + \infty$ . Pour $h = R$ , la droite d'action de $F$ (horizontale passant par $G$ ) passe par $I$ : son moment en $I$ est nul et aucune force horizontale en $G$ ne peut faire basculer la roue. La plus haute marche franchissable vérifie donc $h < R = D /2$ , et le ratio de franchissement $h / D$ reste inférieur à $0, 5$ : c'est la valeur limite de tout engin non déformable (ATRV-JR et TALON : $15/30 = 0, 5$ ).

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