Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie I.2 (Q9 à Q15) : Longueur de chenille constante et fermeture géométrique : loi d'élongation e(θ)

Les chenilles sont inextensibles : quand $\theta$ varie, la partie translatable doit s'allonger ou se rétracter pour garder la chenille tendue. Modèle plan (plan médian du robot), Figures 6 et 7 : $A$, $B$, $C$ sont les centres des trois essieux, les trois poulies ont le même diamètre $D$ ; ${\overrightarrow{z}}_0={\overrightarrow{z}}_1={\overrightarrow{z}}_2$.

• $R_0=(A,{\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0,{\overrightarrow{z}}_0)$ lié au châssis, $\overrightarrow{AB}=L_1{\overrightarrow{x}}_0$ ;
• $R_1=(A,{\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}_1)$, tourné de $\alpha$ par rapport à $R_0$, lié au brin supérieur de la chenille, $\overrightarrow{AC}=L(\theta ){\overrightarrow{x}}_1$ ;
• $R_2=(B,{\overrightarrow{x}}_2,{\overrightarrow{y}}_2,{\overrightarrow{z}}_2)$, tourné de $\theta$ par rapport à $R_0$, lié à la partie avant ; élongation $e(\theta )$ telle que $\overrightarrow{BC}=(L_2+e(\theta )){\overrightarrow{x}}_2$, avec $e(0)=0$ ;
• $L_c$ : longueur totale (constante) de la chenille.

Q9. Parmi $L_1$, $L_2$, $e$, $L$, $\theta$, $\alpha$, lesquels sont constants, lesquels variables ?
Q10. Pour $\theta =\alpha =0$, faire un croquis et relier $L_1$, $L_2$, $D$, $L_c$.
Q11. Relation entre $L_1$, $L_2$, $e$, $L$, $D$ et $L_c$ dans le cas général.
Q12. En déduire $L(\theta )+e(\theta )=\text{cste}$ et préciser la constante.
Q13. Fermeture géométrique $A\to B\to C\to A$ et ses deux projections dans $({\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0)$.
Q14. En déduire $L(\theta {)}^2$ en fonction de $L_1$, $L_2$, $e(\theta )$ et $\theta$.
Q15. Avec Q12, mettre $e(\theta )$ sous la forme $e(\theta )=\frac{F(1-\cos \theta )}{G+H\cos \theta }$ et expliciter $F$, $G$, $H$ en fonction de $L_1$ et $L_2$.