Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie II.1-II.2 (Q16 à Q22) : Axe d'inclinaison : inertie équivalente, modèle du moteur à courant continu, identification, schéma-bloc

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Exigence 1.2.3.1.2, détaillée par le tableau 2 :

Performance	Critère	Niveau
Stabilité	marge de phase ; marge de gain ; dépassement	$8 0^{\circ}$ ; $20 dB$ ; $2%$
Précision	erreur statique ; erreur due à une perturbation en échelon	$1^{\circ}$ ; $1^{\circ}$
Rapidité	temps de réponse à $5%$	de l'ordre de la seconde (ni trop lent, ni trop rapide)

Asservissement de l'inclinaison (Figure 8, courroie détendue) : un codeur incrémental sur l'axe moteur mesure $θ_{m}$ (gain $K_{c a p}$ ) ; l'écart $ε$ est formé avec la consigne $θ_{c}$ adaptée par $K_{a}$ ; correcteur $C (p)$ , amplificateur-variateur de gain $G$ , moteur $H_{m} (p) = Ω_{m} (p) / U (p)$ ; réducteur de rapport $K_{r} = θ / θ_{m} = 1/43$ ; poulies-courroie crantées sans réduction.

Moteur à courant continu (Laplace, conditions initiales nulles), puis données du tableau 3 :

$u (t) = R i (t) + L \frac{d i ( t )}{d t} + e (t) (1), C_{m} (t) = k_{c} i (t) (2),$

$e (t) = k_{e} ω_{m} (t) (3), C_{m} (t) - C_{r e} (t) = J_{e q} \frac{d ω _{m} ( t )}{d t} (4) .$

$R$	$L$	$k_{e}$	$k_{c}$	$J$ (rotor)
$0, 41Ω$	$0, 07 mH$	$1, 91 \times 1 0^{- 2} V/ (rad/s)$	$1, 91 \times 1 0^{- 2} N \cdot m/A$	$42 \times 1 0^{- 7} kg \cdot m^{2}$

$C_{r e}$ est d'abord négligé. Seule la partie orientable (masse $m = 2 kg$ ) est prise en compte, assimilée à une masse ponctuelle à $d = 15 cm$ de son axe de rotation ; inerties des poulies et de la courroie négligées. Réponse du moteur à un échelon de $10 V$ (DR, Q19) :

Ensuite : $H_{m} (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ p}$ , $C (p) = K_{cor}$ , et le schéma est mis sous la forme à retour unitaire de la Figure 9.

Q16. Inertie équivalente $J_{e q}$ de la partie orientable ramenée sur l'axe moteur ; comparer à $J$ .
Q17. Transformer (1) à (4) ; compléter le schéma-bloc du moteur (entrée $U$ , sortie $Ω_{m}$ , retour par $E$ ).
Q18. Mettre $H_{m} (p)$ sous la forme $\frac{K _{m}}{1 + τ _{e m} p + τ _{e m} τ _{e} p ^{2}}$ .
Q19. Identifier $H_{m} (p)$ sur la réponse à l'échelon de $10 V$ (forme canonique).
Q20. Comparer Q18 et Q19 ; expliquer les écarts.
Q21. Déterminer $H_{1} (p)$ , $H_{2} (p)$ et $K_{a}$ pour un asservissement correct.
Q22. Déterminer $H (p)$ en fonction de $K_{cor}$ , $K_{c a p}$ , $G$ , $K_{m}$ et $τ$ .

Corrigé

Q16. Méthode : on écrit l'énergie cinétique de l'ensemble mobile en fonction de la seule vitesse du moteur $ω_{m}$ , et l'on identifie $E_{c} = \frac{1}{2} J_{e q} ω_{m}^{2}$ (définition de l'inertie équivalente). La partie orientable, assimilée à une masse ponctuelle $m$ tournant à la distance $d$ de son axe, a pour vitesse angulaire $θ ˙ = K_{r} ω_{m}$ (transmission poulies-courroie de rapport $1$ ) :

$E_{c} (partie orientable) = \frac{1}{2} m d^{2} θ ˙^{2} = \frac{1}{2} m d^{2} K_{r}^{2} ω_{m}^{2} ⟹ J_{p o} = m d^{2} K_{r}^{2} .$

Application numérique : $m d^{2} = 2 \times 0, 1 5^{2} = 0, 045 kg \cdot m^{2}$ et $K_{r}^{2} = 1/4 3^{2} = 1/1849$ , soit

$J_{p o} = \frac{0 , 045}{1849} \approx 2, 4 \times 1 0^{- 5} kg \cdot m^{2} .$

Avec le rotor, l'inertie totale ramenée sur l'arbre moteur, qui intervient dans l'équation (4), vaut

$J_{e q} = J + m d^{2} K_{r}^{2} = 4, 2 \times 1 0^{- 6} + 2, 43 \times 1 0^{- 5} \approx 2, 9 \times 1 0^{- 5} kg \cdot m^{2} .$

Comparaison : $J_{p o} / J \approx 5, 8$ : l'inertie ramenée de la partie orientable est d'un ordre de grandeur ( $1 0^{- 5}$ contre $1 0^{- 6}$ ) au-dessus de celle du rotor. Malgré la forte réduction ( $K_{r}^{2} \approx 5 \times 1 0^{- 4}$ ), c'est la charge qui fixe la dynamique de l'axe ; elle ne peut pas être négligée, et l'inertie du rotor ne représente que $15%$ du total.

Ce que le correcteur attend : la justification par l'énergie cinétique et le carré du rapport de réduction (oubli fréquent).

Q17. Transformées de Laplace (conditions initiales nulles) :

$U (p) = (R + L p) I (p) + E (p), C_{m} (p) = k_{c} I (p),$

$E (p) = k_{e} Ω_{m} (p), C_{m} (p) - C_{r e} (p) = J_{e q} p Ω_{m} (p) .$

Schéma-bloc complété ( $C_{r e}$ négligé ici) :

Q18. Boucle de retour par la force contre-électromotrice (formule de Black) :

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →