Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie II.3-II.4 (Q23 à Q28) : Bode, performances, perturbation et correcteur PI, saturation de la tension moteur

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations (Figures 8 et 9, cahier des charges du tableau 2 rappelé en Q24). Fonction de transfert en boucle ouverte non corrigée ( $K_{cor} = 1$ ) :

$H (p) = \frac{K}{( 1 + τ p ) p} = \frac{25}{( 1 + 0 , 05 p ) p} .$

Réponse du système bouclé non corrigé à un échelon unitaire :

On ajoute ensuite un couple résistant $C_{r e} (t)$ en échelon dans l'équation (4). Le correcteur retenu en Q26 conduit à

$H (p) = \frac{K}{( 1 + τ p ) p} \cdot \frac{K _{i} ( 1 + τ _{i} p )}{τ _{i} p} = \frac{25 K _{i} ( 1 + τ _{i} p )}{τ _{i} ( 1 + 0 , 055 p ) p ^{2}},$

avec $K_{i} \in {0, 01; 0, 1; 1}$ et $τ_{i} \in {0, 1; 1; 10; 100} s$ (Figure 11a ; Figure 11b pour $K_{i} = 0, 1$ , $τ_{i} = 100 s$ ).

Tension maximale admissible par le moteur : $U_{m a x} = 20 V$ . Simulations pour des échelons de $5^{\circ}$ et de $5 0^{\circ}$ , sans (Figure 12a) puis avec (Figure 12b) protection du moteur :

Q23. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et réels de $H (p)$ non corrigée (pulsations caractéristiques, pentes).
Q24. Compléter le tableau des performances du système non corrigé, non perturbé.
Q25. Origine physique de $C_{r e}$ (hors frottements) ; bloc de la Figure 8 où intervient cette perturbation.
Q26. L'exigence d'erreur due à une perturbation en échelon est-elle validée ? Proposer un correcteur.
Q27. Choisir $K_{i}$ et $τ_{i}$ parmi les valeurs proposées pour valider le cahier des charges ; synthèse.
Q28. Dans quel cas $U_{m a x}$ est-elle dépassée ? Composant à placer en sortie de variateur ; effet sur la rapidité pour l'échelon de forte amplitude.

Corrigé

Q23. $H (p) = \frac{25}{p ( 1 + 0 , 05 p )}$ : intégrateur de gain $K = 25 s^{- 1}$ et premier ordre de pulsation de cassure $ω_{1} = 1/ τ = 20 rad/s$ .

Gain asymptotique : pour $ω < 20 rad/s$ , droite de pente $- 20 dB/d e ˊ cade$ passant par $20 lo g 25 \approx 28 dB$ en $ω = 1 rad/s$ (elle couperait $0 dB$ en $ω = K = 25 rad/s$ ) ; elle vaut $20 lo g (25/20) \approx 1, 9 dB$ en $ω_{1}$ ; au-delà, pente $- 40 dB/d e ˊ cade$ ( $- 66 dB$ en $1000 rad/s$ ). L'asymptote coupe $0 dB$ sur ce second segment, en $ω = K / τ = 500 \approx 22, 4 rad/s$ .
Gain réel : $3 dB$ sous l'asymptote en $ω_{1}$ , soit $- 1, 1 dB$ ; il coupe $0 dB$ en $ω_{c 0} \approx 18, 4 rad/s$ (résolution de $25 = ω 1 + 0, 0025 ω^{2}$ ).
Phase : $φ (ω) = - 9 0^{\circ} - arctan (0, 05 ω)$ , asymptotes $- 9 0^{\circ}$ puis $- 18 0^{\circ}$ , $- 13 5^{\circ}$ en $ω_{1}$ , $- 11 7^{\circ}$ en $10 rad/s$ , $- 16 9^{\circ}$ en $100 rad/s$ ; elle n'atteint jamais $- 18 0^{\circ}$ .

Ce que le correcteur attend : l'intégrateur place le gain asymptotique à $20 lo g K$ en $ω = 1 rad/s$ (et non à $20 lo g K$ en basse fréquence) ; la cassure à $20 rad/s$ se lit sur l'échelle logarithmique, entre $10$ et $100$ .

Q24. Marge de phase : $M_{φ} = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - arctan (0, 05 \times 18, 4) = 9 0^{\circ} - 42, 6^{\circ} \approx 4 7^{\circ}$ . Marge de gain : la phase reste au-dessus de $- 18 0^{\circ}$ , elle est infinie. Sur la Figure 10 : premier maximum $\approx 1, 22$ , soit $D \approx 22%$ ; la sortie passe sous $0, 95$ vers $0, 32 s$ et entre définitivement dans la bande $\pm 5%$ vers $0, 34 s$ . La FTBO est de classe $1$ : écart statique nul pour un échelon.

Performance	Critère	Niveau	Validation
Stabilité	Marge de phase	$\approx 4 7^{\circ}$ (exigé $8 0^{\circ}$ )	non
	Marge de gain	infinie (exigé $20 dB$ )	oui
	Dépassement	$\approx 22%$ (exigé $2%$ )	non
Précision	Erreur statique	nulle (classe 1), exigé $1^{\circ}$	oui
Rapidité	Temps de réponse à $5%$	$\approx 0, 34 s$ (exigé de l'ordre de $1 s$ )	non (trop rapide)

Contrôle par le calcul : la boucle fermée $\frac{H}{1 + H} = \frac{1}{1 + p /25 + 0 , 05 p ^{2} /25}$ est un second ordre de pulsation $ω_{0} = 500 \approx 22, 4 rad/s$ et d'amortissement $ξ = \frac{1}{2 K τ} = \frac{1}{2 1 , 25} \approx 0, 45$ , d'où $D = exp (- π ξ / 1 - ξ^{2}) \approx 21%$ , cohérent avec la lecture. Le premier minimum ( $1 - D^{2} \approx 0, 957$ pour $τ = 0, 05 s$ , $0, 948$ pour la valeur $τ = 0, 055 s$ reprise en II.4) frôle la limite $0, 95$ de la bande : selon qu'il en sort ou non, $t_{5%}$ vaut $0, 34 s$ ou $0, 23 s$ (fin du premier dépassement). Dans les deux cas la conclusion est la même : le système non corrigé est trop peu amorti et nettement plus vif que la seconde visée. Ce que le correcteur attend : chaque critère chiffré (rapport du jury) ; pour la rapidité, la remarque du tableau 2 (« ni trop lent, ni trop rapide ») justifie le « non », même si un lecteur indulgent de « ordre de la seconde » pourrait accepter $0, 3 s$ .

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