Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie III.1-III.3 (Q29 à Q37) : Accéléromètre : étalonnage, lecture du fichier en Python, filtre passe-bas par Euler explicite

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Objectif (exigence 1.2.4) : mesurer l'orientation du châssis par un accéléromètre triaxial ADXL335 pour surveiller la stabilité. Python : numpy est importé sous le nom np.

Étalonnage. Le capteur, relié à une carte d'acquisition ( $5 V$ pleine échelle $\leftrightarrow$ $1024$ incréments), délivre $A_{x}$ , $A_{y}$ , $A_{z}$ . Offset : sortie pour une entrée nulle ; gain : pente de la caractéristique. Documentation (DR) : gamme $\pm 3 g$ , linéarité $0, 3%$ , sensibilité $300 mV / g$ , alimentation $3$ à $5 V$ , sortie environ $0 V$ à $- 3 g$ , $1, 65 V$ à $0 g$ , $3, 3 V$ à $3 g$ . Capteur immobile, placé comme sur la Figure 13 : $A_{y} = A_{z} = 336$ incréments, $A_{x} = 409$ incréments.

Lecture des données. Le fichier accel.txt compte $4$ colonnes (séparées par des tabulations, virgule décimale) et $121$ lignes, la première étant l'en-tête :

`Temps`	`Ax`	`Ay`	`Az`
`0`	`-0,040649`	`0,013535`	`-1,00293`
`0,1`	`-0,031296`	`0,012177`	`-0,997635`
`0,2`	`-0,031555`	`0,004181`	`-0,997742`

Le script de la Figure 14 (lignes 15 à 33, reproduit en Q31) lit le fichier (readlines), traite chaque ligne (lignes 23 à 26 : rstrip, replace, split, append dans resu), retire l'en-tête (ligne 28 : legende=resu.pop(0)) puis convertit tout en flottants dans resufloat. L'annexe 2 rappelle ces méthodes.

Filtrage. Le signal $A (t)$ est bruité ; on le filtre par un passe-bas du premier ordre (Figure 15) discrétisé par la méthode d'Euler explicite, de fréquence de coupure $f = 1/ (2 π τ)$ , avec $A (t_{i}) = A_{i}$ .

Résultats pour quatre fréquences de coupure (accélération brute en gris, filtrée en noir, en $g$ ), puis pour la fréquence retenue :

Q29. Que mesure $A_{x}$ ? Quelles mesures donnent l'offset en incréments ? Offset en volts ; accord avec la documentation ?
Q30. Gain du capteur en $mV / g$ ; accord avec la documentation ?
Q31. Signification des lignes 23, 24, 25, 26 et 28 (tableau du DR).
Q32. Type de resu et de resufloat, premier élément, dimension ; ligne donnant la liste temps (flottants).
Q33. Équation différentielle reliant $A (t)$ et $A_{f} (t)$ .
Q34. Exprimer $A_{i + 1}^{f}$ en fonction de $A_{i}^{f}$ , $A_{i}$ , $t_{i + 1}$ , $t_{i}$ , $τ$ (Euler explicite) ; proposer $A_{0}^{f}$ .
Q35. Écrire Filtrage(A,temps,f), qui renvoie la liste Af des mesures filtrées.
Q36. Influence de $f$ sur la qualité du filtrage.
Q37. Encadrer la fréquence de coupure utilisée pour la Figure 17.

Corrigé

Q29. Sur la Figure 13, l'axe $X$ du capteur est vertical, dirigé selon $g$ , tandis que $Y$ et $Z$ sont horizontaux. Capteur immobile, $A_{x}$ mesure donc la pesanteur (une accélération de $1 g$ en norme), alors que $A_{y}$ et $A_{z}$ correspondent à une accélération nulle. Ce sont $A_{y}$ et $A_{z}$ qui donnent l'offset : $offset = 336$ incréments. En tension :

$U_{0} = 336 \times \frac{5 V}{1024} = \frac{1680}{1024} V \approx 1, 64 V .$

La documentation annonce $1, 65 V$ à $0 g$ : accord (à un incrément près, soit $4, 9 mV$ ).

Q30. La caractéristique étant linéaire (linéarité $0, 3%$ ), le gain est la pente entre $0 g$ (offset, $336$ ) et $1 g$ ( $A_{x} = 409$ ) :

$gain = \frac{409 - 336}{1 g} = 73 incr e ˊ ments / g = 73 \times \frac{5000 mV}{1024} \approx 356 mV / g .$

C'est le même ordre de grandeur que les $300 mV / g$ de la documentation, avec un écart d'environ $19%$ : l'accord n'est qu'approximatif. Cet écart n'invalide pas le capteur : la documentation du DR ne donne que des valeurs typiques (« sortie environ »), pour une alimentation qui peut aller de $3$ à $5 V$ sans que la tension de référence de la sensibilité soit précisée, et ses propres bornes de sortie ( $0 V$ à $- 3 g$ , $3, 3 V$ à $+ 3 g$ ) correspondraient même à $550 mV / g$ . La sensibilité réelle dépend de la tension d'alimentation et de l'exemplaire ; c'est précisément pourquoi on étalonne et l'on utilise ensuite le gain mesuré. La résolution de la carte ( $1$ incrément $= 4, 9 mV \approx 0, 014 g$ ) rend la mesure du gain précise à environ $1, 5%$ .

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