Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles MP — Partie III.4-III.5 (Q38 à Q43) : Tangage et roulis par l'accéléromètre, test de retournement, contrôle et correction en Python

Bases propres à cette sous-partie : le tangage $\beta =({\overrightarrow{Y}}_0,{\overrightarrow{Y}}_1)=({\overrightarrow{Z}}_0,{\overrightarrow{Z}}_1)$ fait passer de la base 0 $({\overrightarrow{X}}_0,{\overrightarrow{Y}}_0,{\overrightarrow{Z}}_0)$, liée au sol, à la base 1 ; le roulis $\phi =({\overrightarrow{X}}_1,{\overrightarrow{X}}_2)=({\overrightarrow{Z}}_1,{\overrightarrow{Z}}_2)$ fait passer de la base 1 à la base 2, liée au capteur. Pesanteur $\overrightarrow{g}=-g{\overrightarrow{Z}}_0$.

Hypothèse : les accélérations dues au mouvement par rapport au sol sont nulles ou inférieures à $5\%$ de $g$ ; les mesures $A_{x2}$, $A_{y2}$, $A_{z2}$ du capteur donnent alors les inclinaisons ; pour $\beta =\phi =0$, on mesure $A_{z0}=A_{z1}=A_{z2}=g$.

Test de retournement ($\phi =0$, Tableau 4) : phase 1, rotation autour de $(O,{\overrightarrow{X}}_0)$ à $\dot{\beta }$ constante positive, des positions 1 à 5 (demi-tour), en $2,5\mathrm{s}$ ; phase 2, pause de $5\mathrm{s}$ ; phase 3, retour des positions 6 à 10 à $\dot{\beta }$ constante négative, en $2,5\mathrm{s}$. Le point de mesure $M$ du capteur est à $OM=r=2\mathrm{cm}$ de l'axe.

Accélérations filtrées mesurées pendant le test, en $g$, et norme $A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$ :

Sans roulis, le tangage est calculé par $\beta =\mathrm{Arctan}(A_{y2}/A_{z2})$, en degrés (courbe fournie sur le DR, reproduite en Q42). Fonction de correction (Figure 19), définie pour $(x,y)\ne (0,0)$, le dernier cas étant exclu :

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{Arctan}(y/x)& \text{si }x>0\\ \pi +\mathrm{Arctan}(y/x)& \text{si }x<0\text{ et }y\ge 0\\ -\pi +\mathrm{Arctan}(y/x)& \text{si }x<0\text{ et }y<0\\ +\pi /2& \text{si }x=0\text{ et }y>0\\ -\pi /2& \text{si }x=0\text{ et }y<0\\ \text{indeˊfini}& \text{si }x=0\text{ et }y=0\end{array}$$

Q38. Tracer les deux figures planes de changement de base.
Q39. Exprimer $A_{x2}$, $A_{y2}$, $A_{z2}$ en fonction de $g$, $\beta$, $\phi$ ; en déduire $\beta$ et $\phi$ pour $\beta ,\phi \in [0;\pi /2]$.
Q40. Accélération ${\overrightarrow{a}}_{M\in \text{capteur}/0}$ ; ordre de grandeur de sa norme comparée à $g$ ; validité de la mesure pendant le test.
Q41. Écrire ControleA(A) : nombre (int) et pourcentage (float) de valeurs de la norme hors de $\pm 5\%$ de $g$, et plus longue séquence consécutive hors critère.
Q42. Superposer à la courbe de tangage du DR l'allure attendue ; cause de la discontinuité.
Q43. Écrire Tangagecorrige(beta,accz,accy) qui corrige la liste beta (degrés) à l'aide de $f$, à partir des listes de $A_z$ et $A_y$ filtrées.