Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles PSI — Partie I.2 (Q6 à Q9) : Accélération limite avant patinage : PFD et loi de Coulomb

On étudie un demi-pont de masse $M/2$ (figure 4), en problème plan (plan de normale $\overrightarrow{y}$) ; les contacts roue-rail sont ponctuels en $I_1$ (roue 1, motrice) et $I_2$ (roue 2, non motrice) ; masse et inertie des roues négligeables ; pivots des roues parfaites.

Données : $M=200\mathrm{kg}$ (donc $M/2=100\mathrm{kg}$), $r=0,2\mathrm{m}$, empattement $I_1{I}_2=L_c=0,8\mathrm{m}$, $h_c=0,4\mathrm{m}$, $\overrightarrow{I_{1}G}=\frac{L_c}{2}\overrightarrow{x}+h_c\overrightarrow{z}$ ($G$ : centre de gravité de l'ensemble mobile), $\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{z}$ avec $g=10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$. $V$ et $\gamma$ : vitesse et accélération du pont par rapport au bâti.

Figure 4 — Modèle du demi-pont.

Cas le plus défavorable : $\overrightarrow{a}(G,\mathrm{pont}/0)=-\gamma \overrightarrow{x}$ avec $\gamma \ge 0$. Actions du rail : ${\overrightarrow{R}}_1=N_1\overrightarrow{z}-T_1\overrightarrow{x}$ sur la roue 1, ${\overrightarrow{R}}_2=N_2\overrightarrow{z}-T_2\overrightarrow{x}$ sur la roue 2, avec $T_1,T_2,N_1,N_2\ge 0$.

Q6. Montrer que $T_2=0$ (système isolé, équation du principe fondamental de la dynamique utilisée).
Q7. En isolant $\{$roue 1 $+$ roue 2 $+$ pont$\}$, établir trois relations entre $N_1$, $N_2$, $T_1$ et $\gamma$.
Q8. Montrer que $N_1=\frac{M}{2}(B-A\gamma )$ et $N_2=\frac{M}{2}(B+A\gamma )$ ; exprimer $A$ et $B$.

Coefficient de frottement roue-rail : $f=0,4$.

Q9. Exprimer l'accélération limite ${\gamma }_{\ell im}$ au-delà de laquelle la roue motrice patine, en fonction de $A$, $B$, $f$ ; application numérique avec $A=0,5$ et $B=5\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.